D1990. Un zeste de calcul
Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L).
Calculer la longueur du segment AS en fonction de a,b,c.
Solution proposée par Gaston Parrour
Les parallèles définies dans l'énoncé, - p1 et p2 en vert sur la figure -, se recoupent en R.
Le point S est le symétrique de R par rapport à la bissectrice intérieure en A notée (L).
La droite p1 recoupe AC au point L , et la droite p2 recoupe AB au point M.
→ Le quadrilatère AMRL ainsi défini est un parallélogramme Par définition de S, sa diagonale AR est égale à AS
On peut envisager le calcul direct de AR2 dans le triangle AMR . Pour cela il faut MR (= AL) et AM (= LR)
Et l'angle au sommet M est angAMR = PI – angBAC (1) Calcul de MR=AL
La distance entre AB et sa parallèle p1 est égale à PH1
PH1 = BP cos(angBPH1) = BP cos(angBAC/2)
et en exprimant BP PH1 = c sin(angBAC/2) cos(angBAC/2) = c/2 sin(angBAC) Par conséquent, avec AL = PH1/sin(angBAC)
==> MR = AL = c/2 (2)
→ Compte tenu des définitions symétriques des éléments de la figure, la longueur commune aux deux autres côtés du parallélogramme ( AM et LR ) est donnée par
==> AM = LR = b/2 (3)
Remarque : le triangle AML est donc le symétrique par rapport à la bissectrice (L) d'un triangle AM'L' où (M'L') est la « droite des milieux » parallèle à BC dans le triangle ABC
Les symétriques L' et M' de L et M sont indiqués sur la figure ; la droite (M'L') n'est pas représentée.
Le point R, dans cette symétrie, devient le point S. Le parallélogramme AMRL devient le parallélogramme A M'SL' [où L' est milieu de AB et M' est milieu de AC ]
A
B C
c
a
b P
Q
(L) R
S L
M
p1
p2
H1 M '
L '
S1
Le segment L'S parallèle à AC et issu de L' milieu de AB, passe par le milieu S1 de BC
Le segment M'S parallèle à AB et issu de M' milieu de AC, passe aussi par le milieu S1 de BC ==> S1 milieu de BC est confondu avec S
==> La longueur de AS demandée est en fait la longueur de la médiane issue de A On peut : soit exprimer directement cette longueur (formule d'Appolonius), soit (ici)
Terminer le calcul amorcé (et retrouver ainsi cette formule) : Dans le triangle AMR :
AR2 = AM2 + MR2 -2AM.MR cos(angAMR) , et avec (1) (2) et (3) = (b/2)2 + (c/2)2 + (b.c/2) cos(angBAC)
Dans le triangle ABC
BC2 = a2 = b2 + c2 – 2(b.c) cos (angBAC) , soit (b.c/2) cos(angBAC) = (b2+c2-a2)/4 et ainsi AR2 = b2/2 + c2/2 -a2/4
Et puisque AS = AR , la longueur de la médiane AS relative à BC est donnée par ===> AS = sqrt (b2/2 + c2/2 – a2/4)
