D1900. Un X fixe
Soient un triangle ABC et un point P variable sur la droite BC de sorte que C est situé entre B et P et les cercles inscrits aux triangles ABP et ACP se rencontrent en deux points D et E. Montrer que la droite DE passe par un point fixe X indépendant de la position de P.
Solution proposée par Gaston Parrour
Notations de la figure et remarques préliminaires
(M1M2) est la droite en rouge parallèle à BC passant par les milieux M1 et M2 de AB et de AC Les deux cercles en bleu correspondent aux deux cercles inscrits de l'énoncé pour une position de P N.B. Ici pour la clarté de la figure, ils ne se recoupent pas ; cela se produira manifestement pour une position plus éloignée de P à droite.
Nous verrons qu'il est indifférent (en un certain sens) que ces cercles inscrits se recoupent effectivement ou non.
La bissectrice intérieure issue de B recoupe (M1M2) en C1 (traits points magenta) La bissectrice extérieure issue de C recoupe (M1M2) en C2 (traits points magenta) Le cercle inscrit au triangle ABC est tangent en J à BC , en K à AC et en L à AB
La corde JK joignant les points de contact des tangentes issues de C est perpendiculaire à la bissectrice intérieure en C.
JK est donc parallèle à la bissectrice extérieure (CC2) issue de C JK recoupe (M1M2) en C'1
==> le quadrilatère J C'1 C2 C est un parallélogramme C1 et C'1 définis ci-dessus sont a priori distincts Remarque lorsque P s'éloigne à l'infini à droite de C :
AP a pour position limite Ax parallèle à BC ,
la bissectrice de l'angle APC devient la droite (M1M2) ,
→ les points C1 et C2 définis ci-dessus apparaissent comme les centres de deux cercles égaux de diamètre égal à la hauteur AH (non représentée sur la figure)
Ces deux cercles (non représentés sur la figure) sont tangents respectivement aux droites (Ax) (AB) (By) (centre C1)
aux droites (Ax) (AC) (Cy) (centre C2)
Ils constituent la configuration limite des deux cercles inscrits de l'énoncé, lorsque P s'éloigne indéfiniment → Ces deux cercles se recoupent en deux points D et E . L'axe radical DE de ces deux cercles égaux est donc perpendiculaire au segment C1C2 joignant leur centre, en son milieu C0.
A
B C P
C1
J
K
C'1
C0 C2
M1 M2
x
y L
J' K'
J'' T '
T
K''
Propriété préliminaire : les points C1 et C'1 définis ci-dessus, sont confondus sur (M1M2)
Soit p =(a+b+c)/2 le demi-périmètre où a b et c sont les longueurs des côtés BC CA et AB Puisque J et K sont les points de contact du cercle inscrit dans ABC , avec ces notations :
CK = CJ = p – c
→ dans le parallélogramme C J C'1 C2 , on a donc C2C'1 = p – c (1) D'autre part (M1M2) « droite des milieux » parallèle à (BC)
avec CC2 bissectrice extérieure en C , cela conduit à : → le triangle C M2 C2 est isocèle de sommet M2 donc M2C2 = M2C = b/2
avec CC1 bissectrice intérieure en B , cela conduit à : → le triangle B M1 C1 est isocèle de sommet M1 donc M1C1 = M1B = c/2
et aussi « droite des milieux » parallèle à (BC) ==> M1M2 = a/2 Donc C1M2 = M1M2 – M1C1 = a/2 – c/2
et C1C2 = C1M2 + M2C2 = a/2 – c/2 + b/2 = p – c (2) N.B. On vérifie que ce résultat est valable quel que soit le cas de figure envisagé.
Avec les égalités (1) et (2) :
==> Les points C1 et C'1 sont confondus ==> Ce résultat peut se résumer ainsi :
Étant donnés : un triangle ABC,
J K et L les points de contact de son cercle inscrit
une « droite des milieux » : par exemple (M1M2) parallèle à BC
==> La bissectrice intérieure issue de B rencontre la corde JK (perpendiculaire à la bissectrice intérieure issue de C) sur la « droite des milieux » (M1M2)
Cette propriété est valable pour tout ensemble : triangle + cercle inscrit + « droite des milieux » N.B. De même (par symétrie de configuration) :
La bissectrice intérieure issue de C rencontre la corde JL sur la droite des milieux (M1M2) Le point P est variable sur la droite (BC) :
Dans le triangle ABP, (M1M2) est encore la droite des milieux parallèle à BP ==> C1 inchangé Et, compte tenu de la propriété précédente :
La corde J'K' des points de contact de son cercle inscrit avec BP et AP (J'K' perpendiculaire à la bissectrice intérieure en P) , passe par C1.
De même,
Dans le triangle ACP, (M1M2) est la droite des milieux parallèle à (CP) ==> C2 inchangé La corde J''K'' (perpendiculaire à la bissectrice intérieure en P) , passe par C2
==> le quadrilatère J' C1 C2 J'' dont les côtés sont parallèles deux à deux, est un parallélogramme Pour une position de P donnée, que les deux cercles inscrits soient sécants, ou non :
→ leur axe radical passe par les milieux des segments J'J'' et K'K'' (définis sur les tangentes communes extérieures par les points de contact aux deux cercles)
Cet axe radical (T T') , perpendiculaire à la ligne des centres (situés sur la bissectrice interne Pz) , est donc parallèle à J'C1 (et J''C2)
==> (TT') passe par le milieu C0 du côté C1C2 du parallélogramme J' C1 C2 J''
==> L'axe radical de chaque couple de cercles inscrits lorsque P parcourt la demi-droite Cy , passe par le point fixe C0 milieu du segment C1 C1 [joignant les centres des deux cercles « inscrits » dans le cas limite où P est à l'infini sur Cy ]
En particulier : lorsque les cercles inscrits se coupent, leur axe radical, la droite DE de l'énoncé, passe par C0
