D1831. Deux cercles tangents
On considère un point M à l'intérieur d'un triangle ABC. La tangente en M au cercle circonscrit au triangle BCM rencontre la droite AB au point D et la droite AC au point E. Les cercles circonscrits aux triangles BDM et CEM se rencontrent en un deuxième point R autre que M. Démontrer que le cercle circonscrit au triangle DER est tangent au cercle circonscrit au triangle ABC.
Solution proposée par Gaston Parrour
Nota Dans ce qui suit les différents cercles sont identifiés par trois points par lesquels ils passent Par exemple Cbmc est le cercle (en vert sur la figure) passant par B, M et C ;
le cercle circonscrit Cabc est en pointillés rouges.
La droite (T) (en vert) est la tangente à Cbmc
La droite (T1) en pointillés rouges est précisée dans la suite
1 – Le point R , - seconde intersection des 2 cercles Cbdm et Ccem - , est sur le cercle circonscrit Cabc En tant qu'angles de droites :
(RB,RC) = (RB,RM) + (RM,RC) (1) Le point R est sur les 2 cercles Cbdm et Ccem , on a donc :
dans le cercle Cbdm (RB,RM) = (BD,DM) dans le cercle Ccem (RM,RC) = (ME,EC)
Et remarquant que DM et ME constituent la même droite (T) , on en déduit avec (1) (RB,RC) = (BD,EC)
D
M E
R A
B C
(T) (T1)
Et avec BD identique à BA et EC identique à AC, on a
(RB,RC) = (BA,AB) = PI – ang A où ang A est l'angle géométrique en A du triangle ABC ==> R appartient au cercle Cabc circonscrit au triangle ABC
2 – Le cercle Cder (en rouge sur la figure) circonscrit au triangle DER, est tangent au cercle circonscrit Cabc Soit (T1) la tangente au cercle circonscrit Cabc en R (en pointillés rouges sur la figure)
Nota Dans ce qui suit, sauf précision particulière, les angles sont notés avec une majuscule centrale qui précise le sommet. Par exemple l'angle de sommet A dans le triangle ABC est bAc (côtés bA et Ac)
→ Sur le cercle circonscrit Cabc, l'arc RB est intercepté par l'angle rCb et
par l'angle entre la tangente (T1) et la corde RB , cet angle est noté (T1)Rb → (T1)Rb = rCb = a (2)
→ Sur le cercle Cbdm , l'arc DB est intercepté par dRb et
par dMb et puisque DM est porté par la tangente (T) à Cbmc en M : → dRb = (T)Mb = b (3)
Or sur le cercle Cbmc l'arc BM est intercepté par (T)Mb
et par mCb
donc → (T)Mb = mCb = b (4) Avec (2) , (3) et (4) :
(T1)Rd = (T1)Rb + bRd = a + b (5) et rCm = rCb + bCm = a + b (6) Cet angle rCm conduit aussi à
→ Sur le cercle Ccem l'arc RM est intercepté par rCm
et par rEm
→ rEm = rCm = a + b (7)
Les relations (5) et (7) conduisent à l'égalité angulaire suivante (en notant que rEm c'est aussi rEd) → (T1)Rd = rEd (8)
Ceux angles égaux interceptent l'arc RD sur le cercle Cder passant par D, E et R
L'angle (T1)Rd est la position limite des angles inscrits dans Cder (tels que l'angle rEd) : l'un des côtés devient RD, alors l'autre côté ici (T1) est nécessairement la tangente au cercle
==> (T1) est tangente au cercle Cder
OR par construction (T1) est aussi la tangente au cercle circonscrit Cabc en R, donc
==> Cabc et Cder ayant une tangente commune en R sont tangents en ce point (R second point d'intersection des deux cercles Cbdm et de Ccem)
N.B. Ce résultat est indépendant de la position du point M dans le triangle ABC
