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Notons a, b, c les longueurs des côtés, S l'aire, p le demi-périmètre, r et R les rayons respectifs des cercles inscrit et circonscrit. Comme S = r.p et S = abc/4R, on a : abc = 86 832. Comme 4S

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Academic year: 2022

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Notons a, b, c les longueurs des côtés, S l'aire, p le demi-périmètre, r et R les rayons respectifs des cercles inscrit et circonscrit.

Comme S = r.p et S = abc/4R, on a : abc = 86 832.

Comme 4S2 = (a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)(– a + b + c), on a : (a + b – c)(a – b + c)(– a + b + c) = 19296

Mais : (a + b – c)(a – b + c)(– a + b + c) = – (a + b + c)3 + 4(a + b + c)(ab + bc + ca) – 8abc,

donc : ab + bc + ca = 5821. Et comme a+ b+ c = 134, a, b, c sont les racines de l'équation : X3 – 134X2 + 5821X – 86832 = 0 ,

or cette équation n'a qu'une seule solution réelle... car son discriminant ∆ = – 672796944 est négatif.

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