Chapitre 2 : Parallèles et longueurs proportionnelles

Chapitre 2 : Parallèles et longueurs proportionnelles

I. Théorème de Thalès.

Soient (BM) et (CN) deux droites sécantes en A. ( configuration de Thalès )

SI

les droites (BC) et (MN) sont parallèles

A^LORS

:

AB

=

AC

=

- Dans toutes les configurations de Thalès, on retrouve des triangles aux côtés parallèles et dont les longueurs sont proportionnelles.

– Les 3 configurations « type » de Thalès sont :

classiques en papillon

Exercice type :

ABC est un triangle.

La droite (  ) parallèle à (BC) coupe (AB) en M et (AC) en N, M n’appartenant pas à [AB].

On sait que AB=8 cm ; AC=6 cm ; AM=2 cm.

Calculer AN.

Rédaction :

Dans la configuration de Thalès : les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A.

Comme les droites (MN) et (BC) sont parallèles, ALORS d’après le théorème de Thalès :

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, AB AM =

AC AN =

BC MN d'où :

8 2 =

6 AN =

BC MN

soit : AN = (6 × 2) : 8 = 1,5 cm

A

B

M

C N

II Réciproque du théorème de Thalès

Sert à démontrer que deux droites sont parallèles Énoncé de la réciproque du théorème de Thalès Soient (BM) et (CN) deux droites sécantes en A.

Si les points A, B, M d'une part et les points A, C, N d'autre part sont alignés dans le même ordre

et si

,

alors les droites (

Exemple :

Les droites (LA) et (HT) sont-elles parallèles ? ( on vérifie que oui au brouillon) Rédaction :

Les droites (HA) et (TL) sont sécantes en M.

Les points A, M, H d'une part et les points L, M, T d'autre part sont alignés dans le même ordre.

D'une part ^MH_MA⁼⁴₃ D'autre part ^MT_ML ⁼⁸₆⁼⁴₃ Donc MH

MA = MT

ML , par suite, d'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (AL) et (HT) sont parallèles.

Remarque : quand ne pas utiliser le théorème de Thalès ?

Lorsque l'on peut utiliser une propriété plus rapide à rédiger, comme le théorème des milieux ou sa réciproque.

6 3

H

L

M A 4 8

T

III Contraposée :

La contraposée d'une propriété vraie est vraie

de A implique B , on obtient « non B » implique « non A »

Contraposée du Théorème de Thalès :

Soient les droites (BM) et (CN ) sont sécantes en A.

Si AB AM ≠

AC

AN, alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Exemple :

Sur la figure ci-contre, TR = 11 cm ; TS = 8 cm ; TM = 15 cm et TE = 10 cm.

Montrer que les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallèles.

Les droites (ES) et (MR) sont sécantes en T.

D'une part _TM^TR=11₁₅ ≈ 0,73

D'autre part ^TS_TE⁼₁₀⁸ = 0,8.

Donc _TM^TR≠TS_TE .

D'après contraposée du théorème de Thalès, les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallèles.m

Autre rédaction

sont différents : 11 15 ≠ 8

10 donc TR

TM≠TS TE

Pour aller plus loin : raisonnement par l'absurde : ( non obligatoire ) on suppose que les droites sont parallèles, on arrive à une

contradiction. C'est donc que notre hypothèse est fausse, par suite, les droites ne sont pas parallèles.

Rédaction

Dans la configuration de Thalès : les droites (ES) et (MR) sont sécantes en T.

Faisons l'hypothèse que : les droites (RS) et (ME) sont parallèles, alors, d’après le théorème de Thalès : TS

TE = TR

TM = SR EM

d'où : 8

10=11 15

En appliquant le produit en croix, on en déduirait que 8 × 15 = 10 × 11 Soit 120 = 110 : impossible

Donc l'hypothèse de départ est fausse.

On a donc

prouvé par l'absurde que les droites (RS) et (ME) n'étaient pas parallèles.

E M

T

R S