Dans un triangle rectangle ABC, H est le pied de la hauteur issue du sommet B de l’angle droit. Démontrer que le centre du cercle passant par les centres des trois cercles inscrits aux triangles ABC, ABH et BCH est bien « calé » sur l’hypoténuse AC.
Soit I le centre du cercle de rayon r, inscrit dans ABC, D la projection de I sur AC, J et K les centres des cercles de rayons respectifs r’ et r’’, inscrits dans ABH et CBH.
Les triangles AHB et BHC sont semblables à ABC dans des rapports respectifs cosA et sinA : r’=r cosA, r’’=r sinA.
HD est la projection de BI, qui fait avec lui un angle A+π/4 : HD=r(sinA-cosA) DJ2=r’2+(r’+HD)2=r2(cos2A+sin2A)=r2 ; de même, DK2=r2 : I, J et K sont sur le cercle de centre D de rayon r.
De plus, DJ est parallèle à BC et DK à AB : DJ et DK sont perpendiculaires.
