D203 - Le carré bien calé dans un quadrilatère.

D203 - Le carré bien calé dans un quadrilatère.

Solution

Les principales configurations susceptibles de donner le plus grand carré possible sont décrites ci-après. Pour chacune d’elles, on a mentionné la dimension correspondante du carré inscrit dans le quadrilatère.

C’est donc la figure n°1 avec le carré identifié par son contour rouge qui donne le maximum recherché. Avec un quadrilatère ABCD dont les côtés pris dans cet ordre valent 4,2,1 et 3, il existe une infinité de positions possibles d’insérer un carré dans ce quadrilatère. On observe qu’il est possible d’exprimer x côté du carré en fonction de l’angle BAD.L’objectif est de trouver l’angle a qui rend maximum cette fonction f. Après des calculs intermédiaires simples mais laborieux qui font intervenir sinus et cosinus dans les triangles AKJ,BIL,ADB,BCD,…

on obtient :

] Y) XY)/(X (1

cot(a) 1

4/[

x     avec X3sin(a)/ 9cos²(a)24cos(a)16 et 6cos(a))

/(7 24 - 60cos(a) (a)

36cos -

Y ²  

Un tableur permet de calculer avec une bonne approximation la valeur de a qui rend maximale f(a), c’est à dire a=43,6309..° d’où x=1,58194833…

Nota : les calculs intermédiaires dans les cas de figure 3,4 et 5 sont plus simples car ABCD a un angle droit (en D ou en A).