3/ Longueurs et angles dans un triangle

Chapitre 8

Applications du produit scalaire

1/ Équations de droites

a) Définition Un vecteur non nul−→

n est dit normal à une droitedsi la direction de−→

n est orthogonale à celle de d.

Définition

b) Propriétés

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;−→ ı ,−→

 ).

1/ Une droite de vecteur normal −→ n a

b

!

a une équation de la formeax+by+c= 0 avec c∈R.

2/ Étant donnés trois réels a,b et c où a etb ne sont pas nuls simultanément, l’en- semble des points dont les coordonnées vérifientax+by+c= 0 est une droite de vecteur normal −→

n a b

! . Propriété

Démonstration

1/ Soitdune droite de vecteur normal −→ n a

b

!

et soitA(x0;y0)∈d.

SoitM(x;y), on a −−→

AM x−x0

y−y0

!

M(x;y) ∈d⇔ −−→

AM .−→

n = 0 ⇔(x−x0)a+ (y−y0)b= 0⇔ ax+by+c= 0 avec c=−ax0−by0.

2/ Soitdl’ensemble des pointsM(x;y) tels queax+by+c= 0 et soitA(x_A, y_A)∈d.

M(x;y)∈d⇔ax+by+c= 0 =ax_A+by_A+c

⇔a(x−x_A) +b(y−y_A) = 0⇔−→ n .−−→

AM = 0⇔−−→

AM⊥−→ n

⇔M appartient à la droite passant parA et de vecteur normal −→ n.

Exemple : Dans un repère orthonormal, on considère les pointsA(3;−1)etB(2; 4). Déterminer une équa- tion de la médiatricemde[AB].

La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le milieu Ide [AB].

On a−−→AB −1

5

donc une équation demest de la forme−x+ 5y+c= 0.

44 Chapitre 8

De plus,I ₅

2;3 2

∈mdonc−5

2+ 5×3

2+c= 0 doncc=−5.

Une équation demest donc−x+ 5y−5 = 0.

2/ Équations de cercles

a) Forme générale Soit (O;−→

ı ,−→

 ) un repère orthonormal.

Une équation du cercle C de centre A(x_A;y_A) et de rayon R est (x−x_A)²+ (y−y_A)²=R²

Propriété

Démonstration

M(x;y)∈C ⇔AM =R⇔AM² =R²⇔(x−x_A)²+ (y−y_A)²=R².

Exemple : Soit(O;−→ı ,−→)un repère orthonormal.

Quelle est la nature de l’ensembleE des pointsM(x;y) tels quex²+y²−6x+ 2y+ 5 = 0?

M(x;y)∈E ⇔x²+y²−6x+ 2y+ 5 = 0⇔x²−6x+y²+ 2y+ 5 = 0

⇔(x−3)²−9 + (y+ 1)²−1 + 5 = 0⇔(x−3)²+ (y+ 1)²= 5 E est donc le cercle de centreC(3;−1) et de rayon√

5.

b) Cercle de diamètre donné

On considère deux points AetB du plan. Le cercleC de diamètre [AB] est l’ensemble des pointsM du plan tels que −−→

M A .−−→

M B = 0.

Propriété

Démonstration M ∈C ⇔

M =A ou M =B

ou AM B est un triangle rectangle enM

⇔−−→

M A .−−→

M B = 0.

Exemple : Soit(O;−→ı ,−→)un repère orthonormal.

Déterminer une équation du cercleC de diamètre[AB]avec A(2; 2)etB(6;−2).

SoitM(x;y). On a−−→M A 2−x

2−y

et−−→M B

6−x

−2−y

.

M(x;y)∈C ⇔−−→M A .−−→M B = 0⇔(2−x)(6−x) + (2−y)(−2−y) = 0

⇔12−8x+x²−4−2y+ 2y+y²= 0 Une équation deC est doncx²+y²−8x+ 8 = 0.

3/ Longueurs et angles dans un triangle

a) Théorème de la médiane

On considère deux pointsAetB du plan etI le milieu de [AB]. Pour tout pointM du plan, on a :

M A²+M B²= 2M I²+1 2AB² Propriété

A B

M

I

Applications du produit scalaire 45 Démonstration

M A²+M B²=−−→

M A²+−−→

M B²= (−−→ M I +−→

IA)²+ (−−→ M I +−→

IB)²

=−−→

M I²+ 2−−→ M I .−→

IA+−→

IA²+−−→

M I²+ 2−−→ M I .−→

IB +−→ IB²

= 2M I²+ 2−−→ M I .(−→

IA+−→

IB) +IA²+IB² OrI est le milieu de [AB] doncIA=IB= 1

2AB doncIA² =IB²= 1 4AB² De plus−→

IA+−→

IB =−→ 0 .

AinsiM A²+M B² = 2M I²+ 2×1

4AB²= 2M I²+1 2AB².

Exemple :ABC est un triangle tel que AB= 6, AC = 8et BC= 12. CalculerAI où I est le milieu de [BC].

D’après le théorème de la médiane :AB²+AC² = 2AI²+1 2BC². On a donc 2AI²= 6²+ 8²−1

2×12² = 28.

AinsiAI =√ 14.

b) Formules d’Al Kashi

On considère un triangle ABC. On pose a=BC,b= AC,c=AB,A^b=\BAC,B^b =\ABC etC^b =\ACB. On a :

a² =b²+c²−2bccos(A)^b b²=a²+c²−2accos(B^b) c²=a²+b²−2abcos(C)^b

Propriété ^A

B a C

c b

b A

b

B Cb

Démonstration BC² =−−→

BC²= (−−→ BA+−−→

AC)² =−−→

BA²+ 2−−→ BA.−−→

AC +−−→

AC² =BA²+AC²−2−−→ AB .−−→

AC AinsiBC²=AB²+AC²−2×AB×AC×cos(\BAC) soita² =b²+c²−2bccos(A)^b

Exemple :ABC est un triangle tel queAC= 9, AB= 5etAb= π

3. CalculerBC.

D’après la formule d’Al Kashi :

BC²=AB²+AC²−2×AB×AC×cos(A) = 5b ²+ 9²−2×5×9×cos_π 3

= 61 AinsiBC=√

61

c) Aire d’un triangle

On considère un triangleABC et on appelleS son aire. Avec les notations ci-dessus, on a :

S = 1

2bcsin(A) =^b 1

2acsin(B) =^b 1

2absin(C)^b Propriété

Démonstration

SoitH le projeté orthogonal deC surAB. On a alorsS= 1

2AB×CH.

Si l’angle A^best aigu alors CH=ACsin(A).^b Si l’angle A^b est obtus alors CH = ACsin(π− A) =b ACsin(A)^b

Dans tous les casS = 1

2AB×AC×sin(A).^b

A

B C

H

a

c b

b A

46 Chapitre 8 d) Formule des sinus

On considère un triangleABC. Avec les notations ci-dessus, on a : a

sin(A)^b = b

sin(B)^b = c sin(C)^b Propriété

Démonstration On aS= 1

2bcsin(A) =^b 1

2acsin(B) =^b 1

2absin(C)^b donc 2S

abc = sin(A)^b

a = sin(B)^b

b = sin(C)^b c ainsi a

sin(A)^b = b

sin(B)^b = c sin(C)^b .

Exemple :ABC est un triangle tel queBC = 5, Bb = 50^◦ et Cb= 75^◦. Calculer ABet AC et donner les valeurs arrondies au dixième.

b

A= 180^◦−(Bb+C) = 55b ^◦ AB

sin(C)b = AC

sin(B)b = BC

sin(A)b ⇔ AB

sin(75^◦) = AC

sin(50^◦) = 5 sin(55^◦) On a doncAB=5 sin(75^◦)

sin(55^◦) ≃5,9 etAC= 5 sin(50^◦) sin(55^◦) ≃4,7.