D1805. Trois cercles inscrits
Mea Culpa: j’ai propos´e cet exercice `a Diophante mais il est mal con¸cu et mal pos´e:
• mal con¸cu parce que l’angle droit en B n’est pas n´ecessaire
• mal pos´e parce que les questions sont pr´esent´ees dans l’ordre inverse de ce qu’il faudrait et que la 3`eme ne devrait mˆeme pas exister!
On a besoin de rep´erer tous les points de contact des cercles Γ1, Γ2 et Γ3 avec les cot´es de ABC et avec CD (voir la figure) sauf H qui est d´efini comme l’intersection de AB et de la 2`eme tangente commune int´erieured2, et on veut montrer que H est le point de contact deΓ3 avec AB.
DE et DF sont les bissectrices des droites AB et DC. Elles forment un angle droit, donc EF est un diam`etre du cercleΓ0 circonscrit `a EDF.
HE et HF sont bissectrices des 2 droites AB et d2 et forment un angle droit, donc H appartient `aΓ0.
La perpendiculaire `a AB passant par le centre deΓ0est axe de sym´etrie pour le cercle et pour D, H et les projections normales I et J de E et F sur AB.
On a doncID=HJ
Sur la droite CD on aDQ=ID etDR=DJ; doncRQ=DH.
De la mˆeme fa¸con, les projections normales de E et F sur la droite CD et les intersections D et S de CD et du cercle Γ0 forment un groupe sym´etrique. On a donc:
RS =DQ=DI =HJ T U =DJ =DR= QS CT =CQ⇒CU =CS=CV
1
CR=CW ⇒RS =V W =HJ La derni`ere ´egalit´e compl`ete la d´emonstration.
2
