PanaMaths
[1 - 1]Novembre 2017
On rappelle que l’on a 1 + + + + = 1 1 2 3 ... 1 n ln n + + γ o 1 ( ) où γ est la
constante d’Euler.
Soit k un entier naturel non nul.
Etudier la nature de la suite w
nk⎛ ⎞⎜ ⎟
⎛ ⎝ ⎠⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
définie par :
*
2
1 1 1 1 1 1
, 1 ... ...
2 3 1 2
k
n w
nkn kn kn n
⎛ ⎞⎜ ⎟
∀ ∈ `
⎝ ⎠= + + + + − + − + − −
Analyse
On s’efforce bien sûr d’utiliser le résultat classique fourni en début d’énoncé…
Résolution
Pour tout entier naturel non nul n, on a :
( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 ... ...
2 3 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 ... 1 ... ...
2 3 2 3 1 1
2 ln o 1 ln o 1
2 ln 2 ln
k
wn
kn kn kn n
kn kn kn kn n
kn n
k n
γ γ
= + + + + − − − −
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜⎝ + + + + ⎟ ⎜⎠ ⎝− + + + + + + + + + + ⎟⎠
= + + − + +
= + +2γ −2 ln
( )
n( ) ( ) ( )
o 1
2 ln k o 1
γ γ
− +
= + +
On en déduit immédiatement que la suite
( )
w( )nk converge et admet pour limite 2 ln( )
k +γ .Résultat
( )
*
2
1 1 1 1 1 1
, lim 1 ... ... 2 ln
2 3 1 1
k n k
kn kn kn n γ
→+∞
⎛ ⎞
∀ ∈` ⎜⎝ + + + + − + − + − − ⎟⎠= +
