X n=1 Γ(s) ns · 3 -D´emontrer que pour tout entier n ≥0, Z

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

Licence de Math´ematiques

IFP Ann´ee 02-03

Devoir 3

A rendre dans la semaine du 16 d´` ecembre 2002

Probl`eme 1

1 -D´emontrer que la fonction Γ d´efinie sur ]0,+∞[ par

∀x >0, Γ(x) = Z +∞

0

t^x−1e^−tdt

est de classe C^∞ sur ]0,+∞[ et que pour tout entier n ≥ 1, sa d´eriv´ee d’ordre n est donn´ee par

∀x >0, Γ⁽ⁿ⁾(x) = Z +∞

0

e^−t(logt)ⁿt^x−1λ(dt).

2 -Calculer

Z +∞

0

t^s−1e^−atλ(dt), pour tous r´eels a, s >0, puis d´emontrer que pour tout r´eel s >1,

Z +∞

0

t^s−1

e^t−1λ(dt) =

+∞

X

n=1

Γ(s) n^s ·

3 -D´emontrer que pour tout entier n ≥0, Z +∞

0

t²ⁿe^−t2λ(dt) = 1 2Γ

n+1 2

·

4 -D´emontrer que pour tout r´eel a : Z +∞

0

e^−t2cos (at)λ(dt) =

√π

2 exp −a² 4

.

Probl`eme 2

L’objet de ce probl`eme est de d´emontrer que pour tout bor´elien B de R de mesure de Lebesgue finie,

(1)

Z

B

cos²(nx)λ(dx)−−−−→

n→+∞

1 2λ(B),

I.F.P. 2002–03, D.M. 3 R. Moch´e, F. Recher

puis d’appliquer ce r´esultat.

1 -D´emontrer la propri´et´e (1) lorsque B est un intervalle ]a, b[,a < b.

2 -Etendre ensuite cette propri´´ et´e au cas o`uB est un ouvert born´e quelconqueU deR.

Indication : On pourra utiliser le th´eor`eme de topologie suivant, dˆu `a Cantor, voir le cours, Lemme 17, premier chapitre :

Tout ouvert non vide U de R s’´ecrit de mani`ere unique comme r´eunion d’une famille finie ou infinie d´enombrable d’intervalles ouverts non vides et deux `a deux disjoints, appel´es composantes de U.

3 - Pour passer au cas g´en´eral d’un bor´elien born´e quelconque B, on admettra (voir les Annales corrig´ees 2001-02, Devoir 2, page 5) que :

Soitmune mesure sur (R^d,B(R^d)),d ≥1, telle que la mesure de tout bor´elien born´e soit finie. Alors pour tout bor´elien B et quel que soit ε >0, il existe un ferm´e F_ε et un ouvert U_ε tels que F_ε ⊆B ⊆U_ε et m(U_ε\F_ε)≤ε

3.bis - (pour les redoublants) D´emontrer directement le r´esultat pr´ec´edent en d´evelop- pant la fonction1_B en s´erie de Fourier.

4 - Etendre (1) pour tout bor´elien B tel que λ(B) < +∞ (un tel bor´elien n’est pas n´ecessairement born´e). Indication (`a justifier) :

Z

B

cos²(nx)λ(dx) = X

j∈N

Z

Bj

cos²(nx)λ(dx),

o`u B_j :={x∈B; j ≤ |x|< j+ 1}.

4.bis - (pour les redoublants) D´emontrer directement ce r´esultat `a l’aide du th´eor`eme de Riemann-Lebesgue.

5 - Application : B d´esignant toujours un bor´elien de R tel que λ(B) < +∞, soit (a_n, n ≥ 1) une suite r´eelle. D´emontrer que si a_ncos (n•), n ≥ 1

converge λ-presque partout sur B vers la fonction nulle et si λ(B) > 0 alors a_n −−−−→

n→+∞

0. Indication : on raisonnera par l’absurde en supposant que

0<lim sup

n→+∞

a²_n ≤+∞.

2