D179 – Bien calé sur l’hypoténuse [** à la main]
Dans un triangle rectangle ABC, H est le pied de la hauteur issue du sommet B de l’angle droit. Démontrer que le centre du cercle passant par les centres des trois cercles incsrits aux triangles ABC,ABH et BCH est bien « calé » sur l’hypoténuse AC.
Solution proposée par Dominique Roux
Soit D la projection orthogonale de B sur AC. Le cercle de diamètre EF passe par D car DE DF et recoupe la droite AC en un point G.
Dans ce cercle (EF,EG) = (DF,DG) = π/4 et (FE,FG) = (DE,D) = π/4.
Donc le triangle EFG est isocèle rectangle, donc EG = FG.
Dans le cercle de centre G passant par E et F, on voit de G la corde EF sous un angle droit, or dans ABC on a : BAC + ACB = π/2.
Donc l’angle en I dans AIC vaut π – (BAC + ACB)/2 = 3π/4 (modulo π).
Donc I est sur le cercle de centre G qui passe par E et F (l’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre).
Remarque 1 : IG AC : G est la projection de I sur AC car XE + XF = XI + XD et ceci quelle que soit la position de B.
Remarque 2 : Les alignements BEE’ et BFF’ qui sont les bissectrices des angles ABD et CBD percent la droite AC en deux points M et N qui sont diamétralement opposés sur le cercle (IEF) (qui est de centre G), mais ceci n’est vrai que si ABC = π/2.
Remarque 3 : GE est parallèle à CB, GF est parallèle à AB, MF est parallèle à AI et NE est parallèle à CI.
Tout ceci se démontre élémentairement par les angles : voir page suivante.