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90° mod 180° H décrit donc la strophoïde droite de point double C, qui passe par A et qui est symétrique par rapport à la droite AC

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D1804. Comme dans un miroir

Problème proposé par Patrick Gordon

Soit un cercle (Γ) de centre C. On trace sur ce cercle un point fixe A et un point courant M. Le triangle CAM admet H comme orthocentre, I comme centre du cercle inscrit et J comme centre du cercle exinscrit dans le secteur angulaire issu de C.

Démontrer (sans calcul) que lorsque M décrit (Γ), les lieux de I et de J - dont on précisera la nature - sont l’image du lieu de H dans un miroir dont on déterminera la trace sur le plan de (Γ).

Pour le point H, on observe une relation d'angles :

(AH,CM)=(AH,AC)+(AC,CM) =90° mod 180° ; (AH,AC) + 2.(CA,CH) = 90° mod 180°

H décrit donc la strophoïde droite de point double C, qui passe par A et qui est symétrique par rapport à la droite AC.

Pour les points I et J : ( ⃗AC ,AM⃗ )+( ⃗MA ,MC⃗ )+( ⃗CM ,CA)=180⃗ ° mod 360°

4.(AC,AI)+2.(CI,CA) = 180° mod 360° et 2(AC,AI)+(CI,CA) = 90° mod 180°

relation qui reste vraie si on remplace I par J.

Les points I et J décrivent donc la strophoïde droite de point double A, qui passe par C et qui est symétrique par rapport à la droite AC.

La trace du miroir est la médiatrice de AC.

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