D1804 - Comme dans un miroir [*** à la main]
Problème proposé par Patrick Gordon
Soient un cercle (Γ) de centre C, un point fixe A et un point courant M sur ce cercle. Le triangle CAM admet H comme orthocentre, I comme centre du cercle inscrit et J comme centre du cercle exinscrit dans le secteur angulaire issu de C.
Démontrer (sans calcul) que lorsque M décrit (Γ), les lieux de I et de J - dont on précisera la nature - sont l’image du lieu de H dans un miroir à deux faces dont on déterminera la trace sur le plan de (Γ)..
Solution
La figure ci-après donne une preuve sans mots :
Commentaires : quand M décrit (Γ), le point P,milieu de l’hypoténuse du triangle rectangle IAJ,décrit la perpendiculaire ΔA en A à la droite CA. Les points I et J décrivent donc la strophoïde droite de foyer C, de centre A et d’axe ΔA, I décrivant la boucle et J les deux branches infinies.
La hauteur issue de A dans le triangle CAM coupe au point Q la perpendiculaire ΔC en C à la droite CA.Le triangle QCH est semblable au triangle isocèle APH (APH =QCH
=CAM =CMA =AHP = α). D’où QH=QC. Le point Q décrit donc la strophoïde droite de foyer A,de centre C et d’axe ΔC.
La trace du miroir à deux faces est donc la médiatrice du segment CA.
Pour plus détails sur la strophöide :
http://www.mathcurve.com/courbes2d/strophoiddroite/strophoiddroite.shtml
