Problème proposé par Patrick Gordon
Soit un cercle (Γ) de centre C.Sur ce cercle on trace un point fixe A et un point courant M.Le triangle CAM admet H comme orthocentre, I comme centre du cercle inscrit et J comme centre du cercle exinscrit dans le secteur angulaire issu de C.
Démontrer (sans calcul) que lorsque M décrit (Γ), les lieux de I et de J - dont on précisera la nature - sont l’image du lieu de H dans un miroir dont on déterminera la trace sur le plan de (Γ).
Le triangle CAM étant isocèle, H appartient à la bissectrice de ACM ; le cercle de diamètre AH recoupe le cercle de centre H tangent à CA et CM en N, n’appartenant pas à AC. Si AN coupe le cercle (Γ’) de centre A passant par C en P, H est centre du cercle inscrit (ou exinscrit, selon que H est intérieur ou extérieur au triangle CAM) du triangle ACP. La symétrie axiale par rapport à la médiatrice de CA, transforme (Γ’) en (Γ), donc H en un point I’ ou J’ centre du cercle inscrit ou exinscrit du triangle CAM’ où M’ est le transformé de P.
Le lieu de H étant une strophoïde droite de sommet A de point double C (voir par ex.
http://www.mathcurve.com/courbes2d/strophoiddroite/strophoiddroite.shtml ), les lieux de I et J sont donc une strophoïde droite de sommet C de point double A.
