D1804. Comme dans un miroir D1.Géométrie plane : triangles et cercles Problème proposé par Patrick Gordon
Soit un cercle (Γ) de centre C. On trace sur ce cercle un point fixe A et un point courant M. Le triangle CAM admet H comme orthocentre, I comme centre du cercle inscrit et J comme centre du cercle exinscrit dans le secteur angulaire issu de C.
Démontrer (sans calcul) que lorsque M décrit (Γ), les lieux de I et de J - dont on précisera la nature - sont l’image du lieu de H dans un miroir dont on déterminera la trace sur le plan de (Γ).
Solution de Paul Voyer
Le symétrique B de l'orthocentre H du triangle ACM par rapport à AM a les propriétés suivantes :
- Son lieu est la perpendiculaire à AC passant par A, - B est le milieu de IJ,
- BA = BI = BJ (= AH).
Le lieu de I et J (en bleu) est par construction la strophoïde droite de pôle A, de point fixe C.
Les points D et D', intersections du cercle de centre A passant par C et de la droite AM, définissent deux triangles ACD et ACD' dont les orthocentres sont respectivement I et J.
Il y a dualité entre H et I, (J), en permutant A et C, M et D, (D').
La trace du miroir sur le plan de (Г) est donc la médiatrice de AC.
Le lieu de H (en vert) est la strophoïde symétrique de la précédente.
