D1804. Comme dans un miroir
Problème proposé par Patrick Gordon
Soit un cercle (Γ) de centre C. On trace sur ce cercle un point fixe A et un point courant M. Le triangle CAM admet H comme orthocentre, I comme centre du cercle inscrit et J comme centre du cercle exinscrit dans le secteur angulaire issu de C.
Démontrer (sans calcul) que lorsque M décrit (Γ), les lieux de I et de J - dont on précisera la nature - sont l’image du lieu de H dans un miroir dont on déterminera la trace sur le plan de (Γ).
Solution proposée par Jean Nicot
La bissectrice de ACM coupe en E la perpendiculaire(P) en A à AC. Le triangle IAJ est rectangle donc AE=IE=EJ. Quand M varie sur (Γ), I et J décrivent la strophoïde droite de pôle C, de point fixe A pour la courbe de base (P).
I décrit la boucle de la strophoïde. J décrit la partie extérieure à (Γ). Quand M se rapproche du symétrique de A par rapport C, E tend vers l’infini sur (P) et J se rapproche d’une asymptote parallèle à (P) et coupant AC au symétrique de C par rapport à A.
Considérons un point M et le point M’ diamétralement opposé. Les points H et H’ sont situés sur la perpendiculaire AHH’ à MM’. L’angle HCH’ est la moitié de l’angle plat MCM’, c’est donc un angle droit. On trace la perpendiculaire (Q) en V à AC. Elle coupe en F la droite AH et on a CF=HF=FH’. H décrit donc la strophoïde droite de pôle A , de point fixe C pour la courbe de base (Q).
Ces deux strophoïdes sont symétriques par rapport à la médiatrice de AC qui est la trace du miroir.
