Déterminer le lieu du milieu du segment qui relie le centre du cercle d’Euler au point de Feuerbach quand A se déplace sur la circonférence de (Γ)

D1972 – Le rendez-vous d’Euler et de Feuerbach avec Poncelet [*** à la main]

La distance d qui sépare le centre O d’un cercle (Γ) de rayon R et le centre I d’un cercle (γ) de rayon r est telle que d² = R(R – 2r).

Q₁ Démontrer qu’on sait tracer une infinité de triangles ABC qui admettent (Γ) comme cercle circonscrit et (γ) comme cercle inscrit .

Q₂ Soit un triangle ABC admettant (Γ) comme cercle circonscrit et (γ) comme cercle inscrit.

Déterminer le lieu du milieu du segment qui relie le centre du cercle d’Euler au point de Feuerbach quand A se déplace sur la circonférence de (Γ).

Solution proposée par Bernard Vignes

Q₁ La formule d’Euler et le porisme de Poncelet permettent de répondre à la question

Soit ABC le triangle qui admet respectivement O et I comme centres du cercle circonscrit (Γ) et du cercle inscrit (γ) .La demi-droite AI rencontre le cercle (Γ) en un point K qui permet de tracer le diamètre KK’ dans ce même cercle.Le droite OI coupe (Γ) en deux points U et V, extrémités du diamètre UV.

Soient R et r les rayons respectifs de (Γ) et de (γ) et d la distance OI.On désigne par α,β et γ les angles aux sommets A,B et C du triangle ANC.

On a les relations AI.AK = IU.IV = (R + d).(R – d) = R² - d². (1)

L’angle CIK est externe au triangle IAC. On a donc la relation d’angles CIK = ACI +

CAI = γ/2 + α/2. De la même manière, on a ICK = ICB + BCK = γ/2 + α/2.

Il en résulte que le triangle ICK est isocèle avec IK = KC. (2)

Soit Z le point de tangence de AB avec (γ). Comme l’angle AZI est droit de même que l’angle KCC’ et queIAZ = CK’K = α/2 , les deux triangles rectangles IZA et KCK’

sont semblables.D’où AI/IZ = KK’/KC, ce qui revient à écrire AI.KC = IZ.KK’ = 2R.r. (3)

La combinaison des trois relations (1),(2) et (3) donne la formule d’Euler d² = R(R – 2r) ou encore R² – d² = 2Rr (4)

Supposons que la distance d entre O et I satisfasse la relation d’Euler,alors il y a une infinité de triangles qui sont inscrits dans (Γ) et sont cironscrits à (γ) . En effet, d’un point A de (Γ) , on trace deux cordes AB et AC tangentes au cercle (γ). La droite AI est la bissectrice de l’angle BAC et il en résulte d’après (4) que AI.IK = IU.IV = R² – d² = 2Rr. Comme d’après la relation (3) AI.CK = 2Rr, on a IK = KC et I est le centre du cercle inscrit du triangle ABC.

Q₂

On désigne par F le point de Feuerbach qui est le point de contact du cercle (γ) et du cercle d’Euler du triangle ABC et par ω le centre de ce cercle d’Euler. Il est bien connu que les points ω,I et F sont alignés (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Feuerbach).

Soit M le milieu du segment ωF.Le cercle d’Euler du triangle ABC qui passe par les milieux des côtés de ce triangle a pour rayon R/2.

Il en résulte que IM = IF – FM = r – R/4 = constante.

Quand A parcourt le cercle (Γ), le lieu de M est donc le cercle de centre I de rayon r – R/4 (en rouge sur sur la figure supra).

A noter que A occupe la position du point B (ou celle du point C), le point F ne bouge pas. Il en résulte que lorsque A parcourt la circonférence de (Γ) , F décrit trois fois le cercle (γ) et le point M décrit donc trois fois le cercle rouge.