D1827‒ La saga des dichotomies (3ème épisode) [**** à la main]
Soit un triangle acutangle ABC avec AB ≠ AC qui admet (Γ) pour cercle circonscrit de centre O. Les tangentes au cercle (Γ) aux points B et C se rencontrent au point D. La droite AO coupe la droite BC au point E. M étant le milieu de BC, on trace la droite AM qui coupe le cercle (Γ) en un deuxième point N. Le cercle circonscrit au triangle AME coupe le cercle (Γ) en un deuxième point F distinct de A. Démontrer que la droite FN coupe le segment MD en son milieu.
Solution proposée par Bernard Vignes
Soient AI la bissectrice de l'angle BAC et J le point diamétralement opposé à I sur le cercle (Γ).
Lemme n°1: la droite AD est la symédiane issue de A dans le triangle ABC.
Par construction, la droite BC est la polaire de D par rapport au cercle (Γ). Les points D,I,M et J forment une division harmonique et les droites AI et AJ sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle
DAM.
Soit P le deuxième point d'intersection de la droite AD avec le cercle (Γ).
Lemme n°2 : le point P est aligné avec les points E et F et est symétrique de N par rapport à la droite OM.
D'après le lemme n°1, on a BAM = BAN = CAP. Par ailleurs ABC = APC. Les triangles ABM et APC sont donc semblables. Il en résulte que AFP = ACP = AMB = AFE.
Par ailleurs on a ANP = ACP = AMB .La droite PN est parallèle à BC et comme AI est la bissectrice de PAN, P et N sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite OM qui passe par I.
Soit Q le deuxième point d'intersection de la droite FD avec le cercle (Γ).
Lemme n°3 : les points A,O et Q sont alignés et le triangle AFD est rectangle en F
Comme précédemment, la droite FD est la symédiane du triangle BFC issue de F. Les triangles CFM et QFB sont semblables de sorte que EAF = EMF = QBF = QAF.
AQ est donc un diamètre de (Γ) et AFD = 90°.
Soient K le milieu de AD et R le point d'intersection de la droite FN avec le segment MD.
Lemme n°4 : les points F,K,P et R sont cocycliques
On a les relations d'angles KAF = PAF = PNR et d'après le lemme n°2 PNR= NPR. Les triangles KAF et RPN sont isocèles et semblables. D'où AKF = PRN.
On en déduit PKR= PFR = PFN = PAN. Les droites AM et KR sont donc parallèles entre elles. Comme K est le milieu de AD, R est le milieu de MD. C.q.f.d.