D1893-Deux cercles tri-tangents MB Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soit le triangle scalène ABC, (Γ) son cercle circonscrit, I le centre de son cercle inscrit (γ) et un point D variable sur le côté BC.Les tangentes à (γ) parallèles à AD coupent le côté BC en E et en F.
Q1 Montrer que le cercle (Γ1) de centre O1, tangent en E au côté BC et tangent en P à AD est tangent à (Γ) et que le cercle (Γ2) de centre O2 tangent en F au côté BC et tangent en Q à AD est tangent à (Γ).
Q2 Montrer que les points O1, O2 et I sont alignés.
Q3 Déterminer le lieu du milieu R de PQ quand D décrit le segment BC.
Q4 S est le milieu de EF. Montrer que SR passe par un point fixe quand D décrit BC.
Q1) Le cercle inscrit (γ) est supposé avoir pour rayon 1 et être tangent en (0,0) à la droite BC.
Une tangente à ce cercle a pour pente 2t/(1-t²), elle coupe BC en E. Elle est symétrique de la droite BC par rapport à la droite EI dont la pente est t. Les abscisses de E et de O1 sont : -1/t . Soient (u,v) les coordonnées de A, et (d,0) celles de D. La pente de AD est v
(u−d)= (2t) (1−t2) d'où d = (vt2+2tu−v)
(2t) . La droite DO1 est perpendiculaire à EI, sa pente est -1/t.
Si h est l'ordonnée de O1, –h /(d+1/t) = -1/t d'où h = (d+1/t)/t = (vt2+2tu−v+2) (2t2)
Connaissant les coordonnées de O1 et la puissance de l'origine : 1/t² par rapport à ce cercle de centre O1 on peut en écrire l'équation :
x²+y²+2x/t – y (vt2+2tu−v+2)
(t2) +1/t² = 0 On multiplie par t² et on ordonne en t :
t²(x²+y² – vy) + 2t(x–uy) + (vy–2y+1) = 0 L'équation de l'enveloppe de ce cercle quand t varie s'obtient en annulant le discriminant de ce trinôme :
(x–uy)² – (x²+y² – vy)(vy–2y+1) = 0 y[x²+y²+ (2ux – y(u²+v²-2v-1) – v) / (v – 2) ] = 0
Le cercle (Γ1) est tangent au cercle (Γ')d'équation x²+y²+ (2ux – y(u²+v²-2v-1) – v) / (v – 2) = 0 Les coordonnées (u,v) de A satisfont à cette équation de (Γ').
Ce cercle coupe la droite BC en deux points dont les abscisses vérifient (v – 2)x² + 2ux – v = 0 D'autre part la droite joignant A(u,v) et un point M(b,0) a pour équation vx + (b– u)y – bv = 0 Cette droite est tangente au cercle (γ) de centre I(0,1) ssi (b – u – bv)² = v² + (b – u)²
D'où (v – 2)b² +2ub – v = 0 , le cercle (Γ') coupe la droite BC précisément aux poits B etC : Il est donc identique au cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC.
D 4 9 0 1
‒ P a v a g e s d ' h e x a g o n e s [
*
*
* à l a m a i n ] A v e c n t r i a n g l e s é
Q2) Rappel des coordonnées de O1 : [-1/t, (vt2+2tu−v+2) (2t2) ] En changeant t par -1/t on obtient celles de O2 : [ t , −(t2(v−2)+2tu−v)
2 ]
Preuve de l'alignement des trois points O1, O2 et I : on vérifie que le déterminant suivant est nul
Q3) R est milieu de PQ, DQ = DF et DP = DE DR = (DQ – DP)/2 = (DF – DE)/2 = EF/2
EF/2 = (xF – xE)/2 = (t+1/t)2 = (t²+1)/(2t)
L'ordonnée de R est DR.sin(BDA), or tan(BDA) = 2t/(1 – t²) implique sin(BDA) = 2t/(1+t²) et cos(BDA) = (1 – t²)/(1+t²)
Les coordonnées de Vec(DR) sont donc [(t²+1)/(2t)]*[(1 – t²)/(1+t²), (2t)/(1+t²)] = [(1 – t²)/(2t), 1]
Tenant compte de l'abscisse de D, celles de R sont [ (vt2+2tu−v+1−t2)
(2t) , 1]
Quand D décrit la droite BC, R décrit en entier la parallèle à BC passant par I .
Q4) R et S sont respectivement les milieux de tangentes communes extérieure et intérieure aux deux cercles (Γ1) et (Γ2), la droite RS est l'axe radical.
(Γ1) : t²(x²+y² – vy) + 2t(x–uy) + (vy–2y+1) = 0 (*)
(Γ2) : t² (vy–2y+1) – 2t(x–uy) +(x²+y² – vy) = 0 (**) obtenue en remplaçant t par –1/t (*) – t².(**) élimine (x²+y²) et donne l'équation de la droite RS :
2(x –uy)(t+t3) + (vy–2y+1)(1 – t4) = 0 , 2(x –uy)t + (vy–2y+1)(1 – t²) = 0 ,
Cette droite passe par le point fixe de coordonnées [u/(2 – v), 1/(2 – v)] qui a même abscisse u/(2 – v) que le centre du cercle (Γ) d'équation x²+y²+ (2ux – y(u²+v²-2v-1) – v) / (v – 2) = 0.
On note aussi que cette équation est vérifiée par x = u/(2 – v), y = 1/(2 – v)
Dans le cercle (Γ), le milieu de l'arc BC qui ne contient pas le point A est le point fixe par lequel passe toujours la droite SR quand D décrit la droite BC.
