D186 – Géométrie franco-française
Soit un triangle ABC acutangle. Le cercle de centre A et de rayon BC coupe respectivement la droite AB en un point P et la droite AC en un point Q tels que P et B, de même Q et C, sont de part et d’autre de A. De la même manière les cercles de centres B et C et de rayons respectifs CA et AB donnent les points R, S, T et U sur les droites portant les côtés BC, BA, CA et CB.
1) Démontrer que l’hexagone PQRSTU est inscrit dans un cercle.
2) Soit O le centre de ce cercle. Un deuxième cercle de même centre O coupe les trois côtés du triangle ABC en six points distincts qui délimitent un deuxième hexagone.
Démontrer que trois côtés de cet hexagone sont égaux entre eux.
Solution par Patrick Gordon 1)
Tout cercle passant par S et T est centré sur la médiatrice de ST, qui n'est autre que la bissectrice de l'angle BAC, car AT = AS. En procédant de même pour P et U et pour R et Q, on établit que, si les six points PQRSTU sont sur un même cercle, ce cercle est centré au centre du cercle inscrit du triangle ABC que nous nommerons O (et non I)
exceptionnellement.
Reste à voir si les distances ce O aux six points sont égales. Elles le sont, car les triangles OAP et OAQ par exemple sont égaux, pour avoir même angle en A (OA est la bissectrice de l'angle PAQ) et des côtés égaux (OA commun et AP = AQ = BC par construction). Ainsi OP
= OQ. De même pour OU = OT et OS = OR.
2)
Tout cercle de centre O (centre du cercle inscrit du triangle ABC) et de rayon R > r mais tel que les 6 points d'intersection avec les côtés du triangle soient sur ces côtés découpe sur les dits côtés des segments de longueur √R²– r² et répond donc à la question.