La droite BM coupe le cercle (Γ) au point Q et CM coupe ce même cercle au point P

D1831‒ Deux cercles tangents [*** à la main]

On considère un point M à l'intérieur d'un triangle ABC.La tangente en M au cercle circonscit au triangle BCM rencontre la droite AB au point D et la droite AC au point E. Les cercles circonscrits aux triangles BDM et CEM se rencontrent en un deuxième point R autre que M. Démontrer que le cercle circonscrit au triangle DER est tangent au cercle circonscrit au triangle ABC.

Solution proposée par Bernard Vignes

(Γ) est le cercle circonscrit au triangle ABC.

La droite BM coupe le cercle (Γ) au point Q et CM coupe ce même cercle au point P.

La droite PD et la droite QE se coupe en un point R'.

D'après la réciproque du théorème de Pascal (théorème de Braikenridge-Maclaurin),six points A,B,C,P, Q, R' tels que les trois points D = ABPR', E = ACQR' et M = BQCP sont alignés, appartiennent à une même conique.Comme A,B,C,P et Q appartiennent au cercle (Γ), il en est de même de R'

Il ne reste plus qu'à démontrer que R' est confondu avec le point R.Comme la droite DE est tangente en M au cercle BMC , on a les relations d'anglesBR'P = BCP = BMD. Les quatre points B,D,M,R' sont sur un même cercle et les points R et R' à l'intersection de ce cercle et du cercle (Γ) sont confondus.

Par ailleurs comme CPQ = CRQ = CRE =  CME, les droites DE et PQ sont parallèles. Les triangles RPQ et RDE sont homothétiques l'un de l'autre avec le centre d'homothétie R. Les cercles circonscrits à ces triangles se touchent donc au point R.