D1842. Au bon souvenir de Trajan Lalesco MB
Les tangentes en B et C au cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC se rencontrent au point D.
Soit F le point symétrique du centre de gravité G du triangle ABC par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle en B.
La droite [BF] rencontre la droite [AD] au point P.
La parallèle passant par P à la droite [AB] coupe la droite [AC] au point I et la droite [BC] au point J.
La parallèle passant par P à la droite [AC] coupe la droite [AB] au point K et la droite [BC] au point L.
Q1 Démontrer que les quatre points I,J,K et L sont sur un même cercle (γ).
Q2 Le cercle (γ) coupe la droite [AB] en un deuxième point M et la droite [AC] en un deuxième point N. Démontrer que la droite [MN] est parallèle à la droite [BC].
Q1) La droite BG est une médiane, G et F sont symétriques par rapport à la bissectrice issue de B, de même les droites BG et BF sont symétriques : La droite BPF est une symédiane .
La droite AD est aussi une symédiane (** la justification est en page 2).
Donc P est l'isogonal de G, P est le point de Lemoine, ses coordonnées barycentriques sont (a², b², c²) La droite JP I : c²(X+Y) – (a²+b²)Z = 0 donne les points J( 0, a²+b², c²) , I(a²+b², 0, c²)
La droite LPK: b²(X+Z) – ( a²+c²)Y = 0 donne les points K(a²+c², b² ,0 ) et L(0 ,b² , a²+c²) L'équation d'un cercle quelconque est
a²YZ+b²ZX+c²XY +(pX+qY+rZ)(X+Y+Z) = 0
Les quatre équations dont les inconnues sont p,q,r, obtenues en écrivant que le cercle passe par les points I, J, K, L sont compatibles . La résolution du système donne :
p=((bc)2∗(b2+c2))
(a2+b2+c2)2, q=((ca)2∗(c2+a2))
(a2+b2+c2)2 r=((ab)2∗(a2+b2))
(a2+b2+c2)2 d'où l'équation du cercle(γ) (a²+b²+c²)²[a²YZ+b²ZX+c²XY] – [b²c²(b²+c²)X+c²a²(c²+a²)Y+a²b²(a²+b²Z](X+Y+Z)=0
Q2) La parallèle à BC menée par P coupe AB et AC en deux points M' etN', on vérifiera que ces points appartiennent au cercle (γ) : équation de la parallèle à BC : a²(X+Y+Z) – (a²+b²+c²)X = 0
M' : X= a², Y= b²+c², Z=0 et N' : X=a², Y=0, Z= b²+c²
Pour M' :
Soit E =(a²+b²+c²)²[c²a²(b²+c²)] – [b²c²(b²+c²)a²+c²a²(c²+a²)(b²+c²)](a²+b²+c²) E/(a²c²) = (a²+b²+c²)²(b²+c²)– [b²(b²+c²)+(c²+a²)(b²+c²)](a²+b²+c²)
E/(a²c²) = (a²+b²+c²)²(b²+c²)– (b²+c²)(a²+b²+c²)² = 0 donc M' est sur (γ).
Calculs analogues pour montrer que N' est sur (γ).
Conclusion : les droites MN et M'N' sont confondues, la droite MN passe par P et est parallèle à BC.
** Pourquoi AD est symédiane :
Si U et V sont les milieux des deux arcs de cercle BC, les droites AU et AV sont perpendiculaires et sont les bissectrices de l'angle BÂC. Comme BC est la polaire de D par rapport au cercle ABC, la division
(U,V,M,D) est harmonique, le faisceau (AU,AV,AM,AD) est harmonique, les deux rayons AU et AV de ce faisceau étant perpendiculaires, ils sont bissectrices de l'angle DÂM :
AM est médiane et AD est une symédiane.
