Enoncé D1989 (Diophante) Concours d’élégance
Soit un triangle ABC, M milieu de BC, D est sur BC le pied de la symédiane (les angles BAC et M AD ont même bissectrice). Démontrer de la façon la plus élégante possible que (AM −AD)/(AM +AD) est le carré de (AB−AC)/(AB+AC).
Cette question a été posée par Jean-Nicolas Pasquay, souhaitant améliorer la première approche qu’il avait suivie.
Son étude de la longueur des symédianes visait à prouver la réciproque de la propriété : dans un triangle, si deux angles sont égaux, les symédianes correspondantes (segments joignant les sommets de ces angles aux côtés opposés) sont égales.
Solutions de Jean-Nicolas Pasquay
Première solution
Notons les angles BAD=M AC=g.
Par la loi des sinus dans les trianglesADB etAM C, sing=BDsinB/AD=CMsinC/AM.
AinsiAD/AM = 2(BD/BC)(AC/AB).
Echangeant les rôles deB etC,AD/AM = 2(CD/BC)(AB/AC).
Par addition
(AD/AM)(AB/AC+AC/AB) = 2(BD/BC+CD/BC) = 2.
AD
AM = 2AB.AC
AB2+AC2
équivalant à la relation annoncée.
Remarque. En égalant les deux premières expressions deAD/AM, on ob- tient la relation classiqueBD/CD = (AB/AC)2. Cette propriété est uti- lisée dans la solution suivante.
Seconde solution
SoitP le symétrique deB par rapport àA; dans le triangleBCP,CAest médiane etCQ symédiane.
ADetCQ étant symédianes, (AD, AC) = (AB, AM) = (P B, P C), (CA, CD) = (CA, CB) = (CP, CQ), d’où similitude de CAD et CP Q, CQ/CD=CP/CA=P Q/AD puis CP/P Q=AC/AD.
BP = 2AB,CP = 2AM.
La position du pointQsurBP vérifieBP/P Q= (CB2+CP2)/CP2, puis (AB±AC)2 = CB2+CP2
2 ±2AB.AC= BP.CP2
2P Q ±2AB.AC =
=AB
AC
AD
CP ±2AB.AC = 2AB.AC
AD (AM±AD), entraînant la rela- tion donnée.
