D1989. Concours d'élégance
Soit un triangle ABC, M milieu de BC, D est sur BC le pied de la symédiane (les angles BAC et MAD ont même bissectrice). Démontrer de la façon la plus élégante possible que
(AM – AD)/(AM + AD) est le carré de (AB – AC)/(AB + AC) . Soient I et J les pieds des bissectrices des angles BÂC et MÂD.
Les cercles de diamètres BC et MD sont orthogonaux au cercle de diamètre IJ.
Les rapports AD/AM et AC/AB ne varient pas si on déplace le point A sur le cercle de diamètre IJ.
Si on choisit de placer A sur la perpendiculaire en D à BC , en posant (angle inscrit ABC) = α, on a (angle au centre AMC ) = 2 α, AC/AB = tan α = t , et AD/AM = sin (2 α) = 2t/((1+t²) (AM – AD)/(AM + AD) = (1 – sin (2 α))/(1 + sin (2 α)) = (1+t² – 2t)/(1+t² + 2t) = [ (1 – t )/(1 + t)]²
= [(1 – AC/AB)/(1 + AC/AB) ]² = [ (AB – AC)/(AB + AC) ]²
Conclusion : (AM – AD)/(AM + AD) = [ (AB – AC)/(AB + AC) ]²
![Le triangle ABC est rectangle en A : Le côté [BC] est l'……………………………](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)