D1877. Un lieu peu ordinaire MB
Dans un triangle ABC, on trace le point M milieu de BC et le point D pied de la bissectrice issue de A.
Soit P un point courant de la droite [AD].
La droite symétrique de la droite [BP] par rapport à la bissectrice intérieure de l’angle en B coupe la droite [AD] au point Q.
Déterminer le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle MPQ quand P parcourt la droite [AD].
Les bissectrices de l'angle B coupent la bissectrice de  en I et J qui sont les centres des cercles inscrit et exinscrit. Les points de contact T et T' avec le côté BC vérifient BT = CT' donc le milieu H de IJ est sur la médiatrice de BC : la droite MH est médiatrice de BC.
La division (PQIJ) est harmonique donc HP.HQ = HI² = HJ² = HB² = HC² = HM.HN où N est le deuxième point d'intersection du cercle (MPQ) avec la droite HM.
H, M, N sont trois points fixes donc le centre du cercle (MPQ) est sur la droite fixe médiatrice de MN, parallèle à BC.
Réciproquement tout point de cette droite est le centre d'un cercle (Γ) passant par M et N, mais si ce cercle ne coupe pas la bissectrice de Â, son centre n'appartient pas au lieu.
Les points de contact des cercles du faisceau à points de base M et N avec la bissectrice de  sont les points I et J. Les centres I' et J' de ces cercles se trouvent sur les perpendiculaires en I et J à la bissectrice de Â.
Le lieu est la partie de la médiatrice de MN extérieure au segment I'J'
