D1913 – Un concours de symétries [**** à la main]
Problème proposé par Dominique Roux
On donne dans le plan 4 points A, B, C, D. On prend les symétriques d'une droite variable L passant par D, par rapport à chacun des 3 côtés du triangle ABC.
Comment choisir L pour que les 3 droites obtenues soient concourantes en un point E ? Quel est l'ensemble des points D donnant ainsi le même point E ?
Solution proposée par Michel Vanel
Une configuration répond au problème.
Soit le triangle ABC et H l’orthocentre. Les droites symétriques d’une droite DH sont concourantes en un point E situé sur le cercle circonscrit et qui est le point ayant pour droite de SIMSON
une droite parallèle à DH. Ce point est unique.
Explications :
La droite DH coupe, par exemple, le côté BC en un point S. Soit Ha le symétrique de H par rapport au côté BC et qui se trouve sur le cercle circonscrit. La droite SHa, symétrique de la droite DH par rapport à BC, coupe le cercle en un point E.
La perpendiculaire à BC issue du point E coupe le cercle en un autre point P. La corde AP est parallèle DH, donc E est le point recherché. Comme il est unique les autres droites
symétriques passeront par ce point.(Inversement si l’on veut trouver le point du cercle ayant pour droite de SIMSON une droite d’orientation donnée, on trace à partir de l’un des sommets du triangle une droite de même orientation qui coupe le cercle en un point, à partir duquel on abaisse la perpendiculaire sur le côté opposé au sommet choisi et qui coupe le cercle au point recherché).
Si DH est parallèle à la tangente au cercle circonscrit en A, le point E sera confondu avec Ha.
Au point E correspond une seule orientation de la droite DH et qui est le lieu des points D.
