Problème proposé par Pierre Leteurtre
Dans un triangle ABC acutangle le point O est le centre du cercle circonscrit (Γ) et le point D est diamétralement opposé au point A sur (Γ).
Soient I un point courant de (Γ) et J son symétrique par rapport à AD. Les droites OI et OJ coupent respectivement les droites AB et AC aux points E et F. Les droites BI et CJ se coupent au point K.
Lorsque I parcourt le cercle (Γ) :
Q1 Démontrer que la droite EF passe par un point fixe G.
Q2 Déterminer le lieu du point K.
OA est la bissectrice de l’angle IOJ ; EF coupe l’autre bissectrice (la perpendiculaire en O à AD) en un point fixe G, pole de AD par rapport aux droites (AB, AC). Si E’ et F’ sont les intersections de OJ avec AB et OI avec AC, E’ F’ passe également par G.
L’égalité angulaire ABI=ACJ entraine que la bissectrice de BKC est parallèle à celle de BAC. Le lieu du point K est donc l’hyperbole équilatère de diamètre BC passant par A et D ; ses asymptotes sont parallèles aux bissectrices de (AD, BC)
(voir la courbe du seau : http://www.mathcurve.com/courbes2d/hyperbole/
hyperboleequilatere.shtml - 5)
