D1806. Un point courant sur un cercle Problème proposé par Pierre Leteurtre
Dans un triangle ABC acutangle le point O désigne le centre du cercle circonscrit (Γ) et le point D est diamétralement opposé au point A sur (Γ).
Soient I un point courant de (Γ) et J son symétrique par rapport à AD. Les droites OI et OJ coupent respectivement les droites AB et AC aux points E et F.
Les droites BI et CJ se coupent au point K.
Lorsque I parcourt le cercle (Γ) :
Q1 Démontrer que la droite EF passe par un point fixe G.
Q2 Déterminer le lieu du point K.
Solution de Paul Voyer Q1
Soit M l'intersection de AD et EF.
Le point G, intersection de EF et de la médiatrice de AD est le conjugué harmonique de M par rapport à E et F sur la droite EF.
Le faisceau AB, AC, AD, AG est donc harmonique, il en résulte que G est fixe.
Or par définition, G a été construit sur EF.
EF passe donc par le point fixe G.
Q2
Les bissectrices des angles IKJ et BAC sont parallèles. En effet, en angles polaires, 2*bissK = [BI]+[JC] = [BC]+[IJ] = [OM]+[OD] = 2*[AL] = [AB]+[AC] ±.
De ce fait, le lieu de K est l'hyperbole équilatère de centre M, milieu de BC et passant par les points A, A', B, C, D, et par l'orthocentre H (théorème de Brianchon-Poncelet), d'asymptotes parallèles aux bissectrices de l'angle BAC.
C'est la définition angulaire de l'hyperbole équilatère (courbe du seau d'eau).
