Soit H une hyperbole rapport´ ee ` a ses asymptotes, d’´ equation y = k

Orthocentre et hyperbole

Gilles Auriol

auriolg@free.fr — http ://auriolg.free.fr

Soit H une hyperbole rapport´ ee ` a ses asymptotes, d’´ equation y = k

x . Soit A(a), B(b), C(c), trois points distincts de H avec abc 6= 0 (ce qui d’ailleurs est forc´ ement v´ erifi´ e puisque les points sont sur H). On veut prouver que l’orthocentre du triangle ABC appartient ` a H.

Equation de la hauteur issue de ´ A

Soit M(x) un point du plan. On a − − → BC

c − b k c − k

b

et −−→

AM

x − a

y − k a

. On a la s´ erie d’´ equivalence suivante :

M ∈ H _A ⇔ −−→

AM · − − → BC = 0

⇔ (c − b)(x − a) + k

c − k

b y − k a

= 0

⇔ cx − bx − ac + ab + ky c − k ²

ac − ky b + k ²

ab = 0

⇔ abcx ² − ab ² cx − a ² bc ² + a ² b ² c + abky − bk ² − acky + ck ² = 0

⇔ abc(c − b)x − a ² bc(c − b) + ak(b − c)y + (c − b)k ² = 0

⇔ abcx − aky + k ² − a ² bc = 0 la division par c − b ´ etant possible car c 6= b.

Equation de la hauteur issue de ´ B

Soit M(x) un point du plan. On a −→

AC

c − a k c − k

a

et −−→

BM

x − b

y − k b

. On a la s´ erie d’´ equivalence suivante :

M ∈ H _B ⇔ −−→

BM · −→

AC = 0

⇔ (c − a)(x − b) + k

c − k

a y − k b

= 0

⇔ cx − ax − bc + ab + ky c − k ²

bc − ky a + k ²

ab = 0

⇔ abc ² x − a ² bcx − ab ² c ² + a ² b ² c + abky − ak ² − bcky + ck ² = 0

⇔ abc(c − a)x − ab ² c(c − a) − bk(c − a)y + (c − a)k ² = 0

⇔ abcx − bky + k ² − ab ² c = 0 la division par c − a ´ etant possible car c 6= a.

Recherche du point d’intersection de H A et H B

L’´ equation r´ eduite de H _A est

y = abcx − a ² bc + k ² ak

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celle de H _B est

y = abcx − ab ² c + k ² bk

L’´ equation des abscisses fournit, en faisant les produits en croix en simplifiant par k non nul : a ² bc − a ² b ² c + ak ² = ab ² cx − a ² b ² c + bk ²

D’o` u

abc(a − b)x = −k ² (a − b) Finalement, comme a 6= b :

x = − k ² abc En rempla¸cant dans la premi` ere ´ equation (par exemple) :

y =

abc ×

− _abc ^k

− a ² bc + k ²

ak = −k ² − a ² bc + k ²

ak = − abc k

Soit I = H _A ∩ H _B . Le point I est l’orthocentre du triangle ABC et d’apr` es le calcul de ses coordonn´ ees x et y, on a xy = k, donc I ∈ H.

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