MPSI 2 Semaine 26
Exercice 1 Limites
Étudier les limites suivantes : 1. lim
x→0(cos(x))ln(x), lim
x→0
√1 + 3x−1−x sin(x) , lim
x→0
sin(x) (cos(x)−1)
√3
1−x3−1 . 2. lim
x→1
a+x a+ 1
x/(x−1)
(aveca >0), lim
x→π/2 x<π/2
(tan(x))tan(2x), lim
x→0(cos(x))1/xm pour m∈R+. Exercice 2 Étude de fonctions
Étudier les fonctions suivantes, et tout particulièrement ce qui est singularisé.
1. Soitf :x7→xarctan(x−1). Placement par rapport aux asymptotes.
2. Soitf :x7→(x+ 1) exp(1/x)définie surR?+. On recherchera notamment une droite asymptote en +∞à la courbe représentative def.
3. Soit f : R → R définie par exp(−1/x2) pour x 6= 0 et f(0) = 0. Étudier la continuité et la dérivabilité en0puis montrer que f est de classeC∞ et que pour toutn∈N,f(n)(0) = 0.
4. Soitf :]−1; +∞[définie parf(x) = arctan(p
(x+ 1)/(x+ 3)). Montrer que le graphe def a une asymptote horizontale et préciser sa position par rapport à l’asymptote.
5. Soitf :R+→Rdéfinie parf(x) =xx+1/(x+ 1)x et prolongée par continuité. Variations, DL en 0, DL généralisé en +∞en1/x, placement par rapport aux asymptotes et tangentes.
6. Soit f : R → R définie par f(x) = |tanh(x)|sinh(x) et prolongée par continuité. Asymptotes, tangente en 0, équivalent de f(x)−1 en 0.
Exercice 3 Développements limités
1. Déterminer un équivalent simple, en 0, de1−cos(x)−ln(cos(x)).
2. DL3(1)de√
x,DL3(0)de 1 +x2
3 +x,DL3(1)de la fonction acrtangente etDL3(π/2)deln(sin(x)).
3. DL4(0)de x
sin(x)− 1
cos(x), dep
1 + sin(x) + exp(cos(x))et de exp(x/cos(x)).
4. DL9(0)desin6(x),DL1(0)de(1 + sin(x))1/x, DL5(0)decot(x)−1/x.
5. Ensemble de définition et dérivabilité dearccos(4x3−3x). Calcul de la dérivée.
6. Développement généralisé de arctan
rx+ 1 x+ 3
!
en+∞, d’ordre 3 par rapport à1/x.
7. Déterminer un équivalent simple, en 0, decos(x)−1 +ax2
1 +bx2 avecaet bréels.
8. Déterminer un équivalent simple, en 0, deln tanx
2 +π 4
− (1−a)x
cos(x)−a, avecaréel.
9. Déterminer un équivalent simple, en+∞, de√
x2−x+ 1 +√3
x3+ax2+ 1, avecaréel.
10. DL3(0)dex7→ arcsin(√ x) px(1−x).
11. Montrer quef(x) = (ex2−1)/xest prolongeable en unC∞-difféomorphisme deRsurRet donner unDL7(0)de sa bijection réciproque.
12. Soituetv de classeC3au voisinage de 0, avecu(0) = 1 etv(0) = 0. Montrer qu’il existey définie au voisinage de 0, de classeC3, telle quey2−2uy+v = 0. En donner un DL3(0) en fonction de ceux de uet v.
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Exercice 4 Intégration
1. Soitf ∈C1([0; 1]), nulle en 0. MontrerR
[0;1]f2≤ 12R
[0;1](f0)2.
2. Soit f un C1-difféomorphisme de [0;a] dans [0;b]. Montrer que, pour tout x dans [0;a], on a R
[0;x]f+R
[0,f(x)]f−1=xf(x).
3. Soitf :R→Rde classe C1 etF : R? →Rdéfinie par ∀x6= 0,F(x) = 1 2x
Z x
−x
f(t)dt. Montrer que F peut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce prolongement : montrer queF est dérivable surR? et exprimerF0(x)à l’aide d’une intégrale.
Exercice 5 Convexité
1. Montrer qu’une fonction est convexe surIsi et seulement si la fonctionp(x, y) = (f(x)−f(y))/(x−
y), définie pourx6=ydansI, est une fonction croissante de la variablex(àyfixé) et de la variable y (àxfixé).
2. Montrer qu’une fonction convexe sur I =]a;b[ y est dérivable à gauche et à droite, et est donc continue, et qu’on afg0(a)≤fd0(a)≤p(a, b)≤fg0(b)≤fd0(b).
3. En déduire que le graphe de f est au-dessus de toute droite passant par (a, f(a)) et de pente p comprise entrefg0(a)etfd0(a). En déduire enfin quef est enveloppe supérieure de fonctions affines.
4. Montrer qu’une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvertI est convexe si et seulement si f0 est croissante ou encore si et seulement sif” est positive. On pourra utiliser le théorème de Lagrange et les deux premières questions.
5. Montrer qu’une fonction convexe surR+ et bornée est décroissante.
6. Montrer ∀x ∈ 0;π2
, 2
πx ≤ sin(x) ≤ x; ∀x > −1, x
x+ 1 ≤ ln(x) ≤ x; ∀x ≥ 0, ∀n ∈ N∗, xn+1−(n+ 1)x+n≥0. Préciser les cas d’égalité.
Exercice 6 Inégalité de Jensen et log-convexité (*)
1. Soitf une fonction convexe deI dansR. En utilisant la question 3, montrer∀(x, y)∈I2,f(x)≥ f(y)+fg0(y)(x−y). Soit de plusgde[0; 1]dansIune fonction continue par morceaux. Montrer qu’il existeudans[0; 1]tel queg(u) =
Z 1
0
get qu’on a∀x∈I,f(g(x))≥f(g(u))+fg0(g(u))(g(x)−g(u)), puis
Z 1
0
f◦g≥f Z 1
0
g
.
2. Soitf continue de[a;b]dansR∗+. Montrer 1 b−a
Z b
a
ln◦f ≤ln 1 b−a
Z b
a
f
! . 3. Calculer lim
n→+∞
1 n−1
Z n
1
1 + 1
x x
dx.
4. Plus généralement, soit f convexe deI dans R,g continue par morceaux de [a;b] dansI et hde [a;b] dansR+ tel que
Z b
a
h= 1. Montrerf Z b
a
g(x)h(x)dx
!
≤ Z b
a
h(x)f◦g(x)dx.
5. Soit f un fonction définie sur un intervalle I et à valeurs strictement positives. On dit que f est logarithmiquement convexe siln(f)est convexe. Montrer qu’alorsf est convexe et que le produit de deux fonctions logarithmiquement convexes est logarithmiquement convexe.
6. Montrer quef est logarithmiquement convexe si et seulement si le trinômex2f(t) + 2xf0(t) +f”(t) ne prend que des valeurs positives. En déduire que la somme de deux fonctions logarithmiquement convexes est logarithmiquement convexe.
7. Montrer quer7→Mr(λ)r est logarithmiquement convexe.
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