Montrer que la fonction indicatrice 1IAestT − Bmesurable si et seulement siA ∈ T

Université de Cergy-Pontoise Vendredi 21 Décembre 2018 L3 - Mathématiques

Examen de "Théorie de la mesure et de l’intégration"

– durée 3 heures. Documents, calculatrices, et téléphones strictement interdits – Questions de cours.

1. Soient(Ω,T)un espace mesurable etA une partie de Ω. Montrer que la fonction indicatrice 1IAestT − Bmesurable si et seulement siA ∈ T .

2. On considère un espace mesuré(Ω,T, µ).

a) Montrer en utilisant la définition d’une mesure que : pour toute suite croissante (B_n)_n≥0 d’éléments deT, on aµ ∪^+∞_n=0B_n

= limn→+∞µ(B_n).

b) Soit (An)n une suite d’éléments de T. Rappeler la définition de A = lim sup_n→+∞An.et montrer queA∈ T.

3. Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions mesurables d’un espace mesurable (Ω,T) vers l’espace mesurable(R,B_R). Montrer que l’ensembleA = {x ∈ Ω;∀n ∈ N, f_n(x) ≥ 1}appartient à T.

4. Soitf :R² →R+une fonction borelienne positive. On considère I =

Z

R²

f(u, v)dudv, J = Z

R²

f(3x, x−2y)dxdy.

ExprimerI en fonction deJ en justifiant votre raisonnement.

Exercice 1. (Questions indépendantes)

1. Soitf(x) =1I[0,1](x)^√1_x. Calculerkf k_p pour1≤p <2, oùRest muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue.

2. Justifier les affirmations suivantes (sans tenter d’évaluer les intégrales) : a)

Z +∞

0

+∞

X

n=1

cos²nx 1 +nx²

! dx=

+∞

X

n=1

Z +∞

0

cos²nx 1 +nx²

! dx b)

Z π

0

x(sinx)²³dx≤ Z π

0

x³dx

!¹₃ Z π

0

sinx dx

!²₃

3. Après avoir rappelé le théorème de convergence monotone, considérer la suite de fonctions (f_n)_ndéfinies parf_n(x) =

n

X

k=0

x^k k!

! 1I_[0,1−¹

n](x)pourx∈[0,1]. Montrer l’existence et calcu- ler la limite :

n→+∞lim

n

X

k=0

Z 1−¹

n

0

x^k

k!dx, pour toutx∈[0,1].

4. Soientα > 0, β > 0etD = {(x, y) ∈ R²; 0 < x < y}. Calculer en justifiant les étapes du calcul :

Z

R²

e^−αxe^−βy1ID(x, y)dxdy.

1

Exercice 2. Soitf :R² →Rla fonction définie par f(t, x) = e^−t2x2

1 +x². SoitF :R⁺→RavecF(t) =

Z +∞

0

f(t, x)dxetG:R⁺ →RavecG(t) = Z t

0

e^−u2du.

On rappelle quelimt→+∞G(t) = Z +∞

0

e^−u2du=

√π 2 .

1. a) Montrer que pour toutt ≥0, la fonctionf(t, .)est borélienne.

b) Montrer que la fonctionF est bien définie et queF(0) = ^π₂. 2. Montrer queF est continue sur[0,+∞[.

3. Montrer queF est dérivable sur]0,+∞[.

4. Montrer que pour toutt >0, F⁰(t)−2tF(t) = −√ π.

5. En déduire que pour toutt >0,on a F(t) =√

πe^t2 √

π

2 −G(t)

.

Exercice 3.

Soitµune mesure sur la tribu borélienne deR⁺, etf :R⁺→R⁺une fonction borélienne.

1. SoitF : (R⁺)² →R⁺définie parF(t, x) = 1I_{f≥t}(x).

Montrer queF est mesurable (indication : on pourra remarquer queF est la fonction indicatrice d’un ensembleA⊂(R+)²).

2. Soitϕ:R⁺ →R⁺de classeC¹, bijective et croissante avecϕ(0) = 0. En utilisant 1., montrer que

Z

R⁺

(ϕ◦f)dµ= Z

R⁺

µ({f ≥t}).ϕ⁰(t)dt.

3. On suppose maintenant quef est dérivable et qu’il existe une constantec >0telle que

∀x ∈ R⁺,|f⁰(x)| ≤ c. On suppose que la mesure µ est la mesure de densité h par rap- port à la mesure de Lebesgue, où h : R⁺ → R⁺ est la fonction mesurable donnée par h(x) = 1

x(lnx)³1I]1,+∞[(x).Montrer que la fonctionln(1 +f)est intégrable surR+par rapport àµ.

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