Que signifie "f est une densité de la mesureµpar rapport à la mesureν&#34

Université de Cergy-Pontoise Vendredi 21 Décembre 2018 L3 - Mathématiques

Examen de "Théorie de la mesure et de l’intégration"

– durée 3 heures. Documents, calculatrices, et téléphones strictement interdits – Questions de cours.

1. Soit A la réunion des ensembles Z, ]2,5],{2e},[10,4e],Q et {11}. L’ensemble A est-il un borélien deR? On rappelle que e∼2,71828183. . . est un nombre irrationnel.

2. Soit f : (Ω,T) → R une fonction mesurable positive. Que signifie "f est une densité de la mesureµpar rapport à la mesureν" ? Montrer alors que pour toute application mesurable telle quehf estν-intégrable, on a

Z

Ω

hdµ= Z

Ω

hf dν.

Exercice 1. Soit(Ω,T, µ)un espace mesuré avecµmesurefinie. On considère une fonction mesu- rablef : (Ω,T)→(R,B(R))telle qu’il existeC >0tel que

∀A∈ T, Z

A

f dµ≤Cµ(A) (∗)

Pourn ∈N^∗, on définitA_n={x∈Ω/ f(x)≥C+ ¹_n}.

1. Montrer queA_n∈ T et queA_n⊂A_n+1. 2. a) Montrer que

Z

An

f dµ≥ C+ 1 n

µ(A_n).

b) En utilisant la propriété(∗), en déduire queµ(A_n) = 0pour toutn∈N^∗. 3. a) Montrer queS

n≥1A_n={x∈Ω/ f(x)> C}.

b) En déduire quef ≤C µp.p.

Exercice 2. Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Rappeler le théorème de convergence dominée. Calculer Z

]0,+∞[

1 xⁿ+e^xdx.

2. Soit∆ = {(x, y)∈R²; 0< x < y}. Soientαetβdeux réels strictement positifs. Calculer Z

∆

e^−αxe^−βydλ⊗λ(x, y).

3. Soient(Ω,F, µ)un espace mesuré,p >1etr ∈]1, p[. Montrer que sifetgsont deux fonctions mesurables et positives surΩ, alors

kf gk₁≤kf k^p

r .kg k ^p

p−r et kf gk^p

r≤kf k_p .kg k ^p

r−1 .

1

Problème.Soit l’espace mesuré(R+,B_R+, λ)oùB_R+est la tribu borélienne surR+etλla mesure de Lebesgue. Soitf :R+ −→Rune fonction deL¹. Pour toutt∈R+, on pose

L^f(t) = Z

R+

e^−txf(x)dλ(x).

1. a) Vérifier que la fonctiont →L^f(t)est bien définie en tout point deR+et que L^f(0) =

Z

R+

f(x)dλ(x).

b) Montrer queL^f est continue surR+. c) Montrer quelim_t→+∞L^f(t) = 0.

(Indication : on pourra considérer une suite(t_n)de réels positifs tendant vers+∞.) 2. Dans cette question, on suppose queg :R+→R, g(x) =xf(x)est une fonction deL¹.

a) Montrer queL^f est dérivable surR+, de dérivée continue donnée par :

∀t∈R⁺, (L^f)⁰(t) =−L^g(t).

b) En déduire que Z ∞

0

L^g(t)dt= Z

R+

f(x)dλ(x).

c) Montrer que si Z

R+

|f(x)|

x dλ(x)<+∞, alors Z +∞

0

L^f(t)dt = Z

R+

f(x)

x dλ(x)).

(Indication :appliquer c) avec la fonction ^f(x)_x dans le rôle def) 3. Dans cette question, on pose∀n∈N^∗, f_n=1I_[0,n](x) sin(x).

a) Montrer que

∀t∈R+, L^fn(t) = 1−e^−nt(cos(n) +tsin(n))

1 +t² .

(Indication :remarquer queL^fn(t)est la partie imaginaire de Z n

0

e^x(i−t)dx) b) On rappelle que∀x∈R, e^x ≥1 +x. En déduire que

∀n∈N, ∀t∈R+, |e^−nt cos(n) +tsin(n)

| ≤e^−(n−1)t≤1.

d) Montrer que∀t∈R+, lim

n→+∞

Z +∞

0

L^fn(t)dt = Z +∞

0

1

1 +t²dt= π 2. e) Montrer en utilisant ce qui précède et le résultat de la question 2c que

n→+∞lim Z n

0

sin(x)

x dx = π 2.

2