Enoncé D1817 (Diophante) Retour à la source
Dans un cercle (Γ) on trace une corde AB de milieu M, distincte de son diamètre. Soit un point courantCde l’arc (γ) de ce cercle tel que le triangle ABC est toujours acutangle.
Dans le triangleABC, on trace les hauteursADetBE qui se coupent en l’orthocentre H. Les cercles circonscrits aux triangles ABH et DEM se coupent aux pointsP etQtels queP est du même côté queApar rapport à la droite CH. Les droitesHP etM Qsont concourantes en un pointX.
Les droites HQetM P sont concourantes en un pointY. Déterminer les lieux de X et de Y quandC parcourt l’arc (γ).
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
L’arc (γ) est le symétrique, par rapport au centre de (Γ), de l’arcAB < π de ce cercle.
La figure suggère queXetY sont l’intersection de (Γ) et de la droiteDE.
Examinons le rapport de ces éléments avec les cercles (ABH) et (DEM) de l’énoncé.
Triangles rectangles ayant même angle en H, AEH et BDH sont sem- blables à retournement près.
HA/HE =HB/HD, W =HA.HD =HB.HE et de même = HC.HF siCF est la troisième hauteur.
L’inversion IH de pôle H qui transforme A en D transforme ausssi B en E,C en F, la droite DE en le cercle (ABH), et (Γ) en le cercle (DEF) qui contientM, car c’est le cercle d’Euler du triangleABC. Chaque point est séparé de son inverse parH, la puissance d’inversionW <0.
D et E appartiennent au cercle de diamètre AB, de centre M, de rayon M A = M D = M E. L’inversion IM de pôle M et de puissance M A2 conserve les pointsDetE, et transforme la droiteDEen le cercle (DEM).
La puissance de M par rapport à (Γ) est −M A2; (Γ) est globalement invariant dans l’inversion de pôleM qui a cette puissance ; l’inversionIM, de puissance opposée, transforme (Γ) en son symétrique par rapport à M, qui est le cercle (ABH) ; en effet, D et E appartiennent au cercle de diamètreCH, l’angleAHB=DHE=π−ACB.
Soit donc Z un point commun à (Γ) et DE; son transformé par IH est un point de ZH commun à (DEM) et (ABH), séparé de Z par H car la puissance d’inversion est négative. Le transformé de Z par IM est un point deZM commun à (DEM) et (ABH), du même côté de M queZ.
Ainsi les droites ZM et ZH passent l’une par P, l’autre par Q; chacun des points d’intrersection de (Γ) etDE estX ouY.
DE est variable, mais (Γ) est fixe ; les lieux de X et Y sont des parties de (Γ). Si par exemple F tnd vers B,C tend vers l’extrémitéCB de (γ), diamétralement opposée àA, le lieu deY va deA au symétrique deB par rapport au diamètreACB. De même, le lieuX va deB au symétrique de Apar rapport au diamètre BCA.
