Enoncé A553 (Diophante) Puissances inaccessibles Soient :
Pnle produit desnpremiers nombres premiers =p1p2p3. . . pnavecp1 = 2, p2= 3, p3 = 5, . . .
pn+1 le (n+ 1)ième nombre premier,
Qn le produit de nnombres premiers impairs =q1q2. . . qn.
Pb1 : Démontrer que pour n quelconque, Pn+ 1 ne peut jamais être un carré parfait
Pb2 : Démontrer que pour n quelconque,Q2n+ 1 ne peut jamais être un cube parfait
Pb3 : Pour quelles valeurs de n a-t-onPn> p2n+1? Justifier votre réponse.
Pb4 pour les plus courageux : Démontrer que pour n >1,Pn−1 ne peut jamais être une puissance parfaite.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Pn/p1 est le produit de facteurs impairs, il est lui-même impair et Pn a pour reste 2 modulo 4. Pn+ 1 ayant 3 pour reste modulo 4 ne peut être un carré parfait.
Question 2
Qn est le produit de facteurs impairs, il est lui-même impair et son carré a pour reste 1 modulo 8. Q2n+ 1 a 2 pour reste modulo 8, mais le cube d’un nombre pair est multiple de 8, alors que le cube d’un nombre impair a un reste impair modulo 8. D’où l’impossibilité.
Remarque. Le même argument montre que Q2n+ 1 ne peut être un carré parfait (le reste modulo 8 devrait être 0, 4 ou un impair).
Question 3
Je m’appuie sur le théorème (“postulat de Bertrand”) : pn+1<2pn.
Pourk≥3,Pk>8, Pk+1 >8pk+1 >4pk+2,Pk+2>4p2k+2> p2k+3. AinsiPn> p2n+1 est vrai pourn=k+ 2≥5.
En fait on a déjàP4= 210>121 =p25. Question 4
SupposonsPn−1 =xp, puissance parfaite. On ne restreint pas la généralité en supposant que l’exposantp est un nombre premier.
x est premier avec les pi (1≤i≤n), et ses facteurs premiers sont > pn, on a doncx > pn.
Pour n > 1,p doit être impair car p2 = 3 ne peut diviser une somme de deux carrés premiers entre eux (comme 1 et xà une puissance paire).
xp < Pn< pnn< xn, doncp < n < pn etp est un diviseur dePn=xp+ 1.
Mais par Fermatxp+ 1 etx+ 1 ont même reste modulo p, et x=py−1 avec y entier.
Pn =xp+ 1 = (py−1)p+ 1 =
p
X
k=1
Cpk(py)k(−1)p−k, multiple de p2, d’où contradiction car Pn n’est divisible par aucun carré.
