Enoncé D1847-pb1 (Diophante)
Soit un triangleABC. La perpendiculaire enB au côtéABcoupe respectivement aux points D et F la hauteur issue de A et la médiatrice du côté BC. Le point D se projette en E sur le côté AC.
Démontrer que le triangle BF E est isocèle.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
B et E appartiennent au cercle de diamètreAD.
Ainsi (BD, BE) = (AD, AE) =π/2−(CA, CB).
Puis (BE, BA) = (BD, BA)−(BD, BE) = (CA, CB).
Le triangleAEB a donc les mêmes angles que le triangleABC et lui est semblable à retournement près.
BE/BC =AE/AB =ADsinC/AB = sinC/sinB.
SoitM le milieu de BC,BC= 2BM = 2BFsinB. BE =BCsinC/sinB = 2BFsinC= 2BFcos(BF, BE).
F se projette au milieu deBE, ce qui caractérise le triangle isocèle oùF E =F B.
![Connaître les médiatrices du triangle Voici quelques exemples : Dans chaque cas, on a la médiatrice du côté [BC]. Définition : la médiatrice d](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)