Enoncé D1847-pb1 (Diophante) Soit un triangle

Enoncé D1847-pb1 (Diophante)

Soit un triangleABC. La perpendiculaire enB au côtéABcoupe respectivement aux points D et F la hauteur issue de A et la médiatrice du côté BC. Le point D se projette en E sur le côté AC.

Démontrer que le triangle BF E est isocèle.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

B et E appartiennent au cercle de diamètreAD.

Ainsi (BD, BE) = (AD, AE) =π/2−(CA, CB).

Puis (BE, BA) = (BD, BA)−(BD, BE) = (CA, CB).

Le triangleAEB a donc les mêmes angles que le triangleABC et lui est semblable à retournement près.

BE/BC =AE/AB =ADsinC/AB = sinC/sinB.

SoitM le milieu de BC,BC= 2BM = 2BFsinB. BE =BCsinC/sinB = 2BFsinC= 2BFcos(BF, BE).

F se projette au milieu deBE, ce qui caractérise le triangle isocèle oùF E =F B.