Enoncé D288 (Diophante) Incursion en Ovalie
Dans un quadrilatèreABCDinscrit dans un cercle (Γ), on trace les points M etN milieux respectifs des côtésBC etAD. Les diagonalesAC etBD se rencontrent en un point P. Ce dernier se projette en E sur la droite AB et enF sur la droiteCD. Les droitesBF etCE se rencontrent en un point Q.
Démontrer que les droites M N et P Q sont parallèles entre elles tout en étant perpendiculaires à la droite EF.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Sans doute cette figure a-t-elle des propriétés projectives menant à une solution élégante, mais elles m’échappent ; aussi dois-je recourir au calcul, plus laborieux.
Pour exploiter la symétrie des rôles au sein des paires (A, D) et (B, C), je travaille en coordonnées barycentriques de base (P, B, C) ; le triangle P BC a pour longueurs des côtésBC =p,CP =bet P B=c.
(Γ) a BC d’équation x = 0 pour axe radical avec le cercle circonscrit à P BC; son équation est de la forme−p2yz−b2zx−c2xy+lx(x+y+z) = 0.
Les coordonnéesA(1+a,0,−a) etD(1+d,−d,0) doivent la satisfaire, d’où b2a(1 +a) +l(1 +a) = 0 =c2d(1 +d) +l(1 +d), puis−l(ad) =a/c2 =d/b2, quantité que je noteh.
La figure est complètement définie par les paramètres p, b, c, h. On a les coordonnéesA(1 +hc2,0,−hc2),D(1 +hb2,−hb2,0) puis les composantes du vecteur 2N M =AB+DC : (−2−hb2−hc2,1 +hb2,1 +hc2).
Soit e = BE/BA; E a pour coordonnées (e+ehc2,1− e,−ehc2). Le paramètreerend minimale la longueur|P E|=|(1−e)P B−ehc2P C|, de carré (1−e)2c2+e2h2c4b2−e(1−e)hc2(b2+c2−p2).
P E2/c2= 1−e(2 +h(b2+c2−p2)) +e2(1 +h(b2+c2−p2) +h2b2c2).
Ce trinôme est minimal poure= 2 +h(b2+c2−p2)
2(1 +h(b2+c2−p2) +h2b2c2). (∗) Ce trinôme est symétrique enbetc; c’est donc le même, aveceremplacé par f = CF/CD, que l’on retrouve quand on échange A et D, B et C, b et c, E et F, y et z. Ainsi f = e et le point F a pour coordonnées (e+ehb2,−ehb2,1−e).
Par les alignements BQF et CQE, xEzF/zQ = xExF/xQ = yExF/yQ, d’oùyQ/zQ= (1 +hb2)/(1 +hc2), ce qui prouve le parallélismeP Q//N M. Je forme l’expression 2(EM2−EN2)−2(F M2−F N2) valant (théorème de la médiane) EB2+EC2−EA2−ED2−F B2−F C2+F A2+F D2, et dont l’annulation exprime queE etF ont même projection surM N. Les coordonnées deA, B, C, D, E, F exprimées avec les paramètrese, h, b, c donnent pour cette expression
(c2−b2)(2e−2 +h(b2+c2−p2)(2e−1) + 2ehb2c2), où le second facteur s’annule quande prend la valeur (∗).
AinsiEF est perpendiculaire à M N, et donc aussi àP Q.
