Soient :
Pn le produit des n premiers nombres premiers = p1 p2 ... pn avec p1 = 2, p2 =3, p3 = 5,...
pn+1 le (n+1)ième nombre premier, Qn le produit de n nombres premiers impairs =q1 ... qn
Pb₁(*) : Démontrer que pour n quelconque, Pn + 1 ne peut jamais être un carré parfait Pb₂ (**) : Démontrer que pour n quelconque, Qn2 + 1 ne peut jamais être un cube parfait Pb₃ (***) : Pour quelles valeurs de n a-t-on Pn > pn+12 ? Justifier votre réponse.
Pb₄ (*****) pour les plus courageux: Démontrer que pour n > 1, Pn – 1 ne peut jamais être une puissance parfaite.
1) Pn est le produit de 2 par un nombre impair, il est donc congru à 2 modulo 4, et Pn +1 est congru à 3, ne pouvant donc être un carré parfait.
2) Si Qn2+1=a3, a est pair, et a3 est divisible par 8 ; 32=9, (6k±1)2=12k(3k±1)+1 où k(3k±1) est pair: les carrés des nombres premiers impairs sont tous
congrus à 1 modulo 8, donc Qn2+1 est congru à 2, d’où contradiction.
3) 2*3*5*7=210≥121=112 ; par récurrence, si Pn≥pn+12 , Pn+1≥pn+13 >pn+22 ; or, d’après le théorème de Tchebychev, pn+2 ≤2pn+1 , pn+22 ≤8pn+12 ≤pn+13 puisque pn+1≥11. La propriété est donc vraie pour n≥4.
