A50113. Combien de puissances 4 ?
On a d´emontr´e que tout entier assez grand est d´ecomposable en somme de 16 puissances quatri`emes au plus.
a) Montrez que cet ´enonc´e serait faux si on rempla¸cait 16 par un nombre
<15.
b) Donnez un exemple d’entier exigeant plus de 16 puissances quatri`emes.
Solution
a) Le reste modulo 16 d’une puissance quatri`eme est 0 si le nombre de d´epart est pair, 1 s’il est impair. Un nombre entier de la forme 16k+ 15 ne peut pas ˆetre somme de 14 puissances quatri`emes ou moins.
b) Les premi`eres puissances quatri`emes sont 1, 16, 81. Un nombre inf´erieur `a 80 n’a ni terme sup´erieur `a 16, ni plus de 4 termes 16 dans sa d´ecomposition en somme de puissances quatri`emes. En particulier, 79 exige 15 termes 1 au moins (cf. la question pr´ec´edente), et au moins 19 termes en tout, avec 15 termes 1 et 4 termes 16.
Plus g´en´eralement, pour la d´ecomposition en puissancesk-i`emes, le nombre b1,5kc2k−1 exigeb1,5kc+ 2k−2 termes, en notant par bxc le plus grand entier inf´erieur ou ´egal au r´eel x.
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