Puissances de 10, puissances d’un entier relatif
I. Introduction
a/ Comment écrit-on dix millions en chiffres?
b/ Voici une notation qui permet d’écrire ce nombre :108.
On lit « 10 exposant 8 » ou « 10 puissance 8 ».Que signifie l’exposant 8 ? c/ Recopier et compléter :
...
...
...
2
10 100000 ...
...
...
...
10 ..
...
...
10 10 10 10
10 1000 10
10 10
10 100 10
10
=
=
=
=
×
×
×
=
=
×
×
=
=
×
..
d/ De façon plus générale, si n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 2, que signifie l’écriture 10n?
II. Définition et règles de calcul
1. Définition
Soit n un entier strictement positif, on adopte la notation suivante :
Par conséquent :
10 10
1 10
1 0
=
=
Exemples : 1012= 1000 000 000 000 10-5= 0,00 001 2. Règles de calcul
Propriété : Trois règles sont essentielles pour le calcul avec les puissances de 10 :
• 10 m ×10 n=10 m+n
• n 10
1 =10 -n
• mn 10
10 =10 m-n
• (10m)n= 10m×n Exemples :
10 7 ×10 -2=10 5
8 7
10 10−
=10 -15 (10-4)3= 10-12
(à faire trouver aux élèves par l’intermédiaire d’exemples) 10n××××10m =10n+m et 10n
10m =10n-m 10n= 14 24 4 34
10
10 10 ....
10 10
facteurs n
×
× = 14243
L0
0000 ...
1000
n
10 -n= n 10
1
4 4 3 4
4 2 1
10
10 10 ...
10 10
1
facteurs n
×
× =
43 42 1
0
0001 ...
0 , 0
n
III. Ecriture scientifique
Définition : On appelle notation scientifique d’un nombre, la notation de la forme a×10n où a est un nombre décimal avec un seul chiffre différent de zéro avant la virgule.
Exemples :
6500000 = 6,5 ×106 0,0000123 = 1,23×10-5 -10400000 = -1,04×107
IV. Puissance d’un entier relatif
• que désignent les notations : 39; (-7)4; (-2)-4 ?
Définition : Soit n un entier strictement positif, et a un nombre relatif :
?
=
×
×
×
=
− n n
a à égaux facteurs n n
a a
a a a a a
1
....4 34 4
4 2 1
Cas particuliers : 1n=1, 0n=0, a-1= 1 a
Les règles de calcul en ce qui concerne la multiplication et l’addition sont les mêmes qu’avec les puissances de dix, à savoir par exemple :
0 si a a
a a a
a a a a
3 5 2 5 2
5 3 2 3 2
≠
=
=
=
=
×
−
− +
• avec la dernière définition, comment calculer (a2)5 ? Règles générales :
• a m ×a n=10 m+n
• n a
1 =a -n
• n
m
a
a =a m-n
• (am)n= am×n
