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CALCULS NUMERIQUES (Rappels)
I. Les fractions
Soit 𝑎 un nombre relatif non nul. L’opposé de 𝑎 est – 𝑎. L’inverse de 𝑎 est 1 𝑎.
Soit 𝑎, 𝑏, c, d quatre nombres relatifs (nombres décimaux positifs et négatifs) avec 𝑏 ≠ 0 et 𝑑 ≠ 0.
Opérations Exemples
Addition 𝑎
𝑏+ 𝑐
𝑑 =𝑎 × 𝑑 + 𝑐 × 𝑏 𝑏 × 𝑑
3 4+5
7=3 × 7 + 5 × 4
4 × 7 = 21 + 20 28 =41
28
Mettre au même dénominateur
Soustraction 𝑎 𝑏− 𝑐
𝑑 =𝑎 × 𝑑 − 𝑐 × 𝑏 𝑏 × 𝑑
3 4−5
7=3 × 7 − 5 × 4
4 × 7 = 21 − 20 28 = 1
28
puis calculer les
numérateurs
Multiplication 𝑎 𝑏×𝑐
𝑑 = 𝑎 × 𝑐 𝑏 × 𝑑
3 4×5
7=3 × 5 4 × 7= 15
28
Multiplier en ligne
Division, avec 𝑐 ≠ 0
𝑎 𝑏𝑐 𝑑
= 𝑎 𝑏÷ 𝑐
𝑑 =𝑎 𝑏×𝑑
𝑐 = 𝑎 × 𝑑 𝑏 × 𝑐
3 4 5 7
=3 4÷5
7=3 4×7
5=21 20
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse
Méthode : Effectuer des calculs de fractions
Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée : A =8
7−−4 7 ×5
3
A =8
7−−20 21 A =8
7+20 21 A =24
21+20 21 A =44
21
B = −3 2 +5
2
B = −3 ÷ (2 +5 2) B = −3 ÷ (4
2+5 2) B = −3 ÷9
2 B = −3 ×2 9 B = −2
3
C = (−2 3 −−4
9 ) ÷ (5 2+1
2× 3
−7)
C = (−6 9 +4
9) ÷ (5 2+ 3
−14) C =−6 + 4
9 ÷ (35 14− 3
14) C =−2
9 ÷32 14 C = −2
9×14 32 C = − 2 × 2 × 7
9 × 2 × 2 × 8= − 7 72
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II. Les puissances
1. Définition et calculs de puissance positive Soit 𝑎 un nombre relatif,
𝑛 un entier positif non nul. Exemples
𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎⏟
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑎 2,53 = 2,5 × 2,5 × 2,5 = 15,625 Pour 𝑎 ≠ 0 et 𝑛 ≠ 0,
on convient que :
𝑎0 = 1 2,50 = 1
𝑎1 = 𝑎 2,51 = 2,5
0𝑛 = 0 03 = 0
1𝑛 = 1 13 = 1
La puissance s’applique sur ce qui est juste en dessous :
si c’est une parenthèse : (−2,5)4 = (−2,5) × (−2,5) × (−2,5) × (−2,5) = 39,0625 si c’est un nombre : −2,54 = −2,5 × 2,5 × 2,5 × 2,5 = −39,0625
si c’est une lettre : −3𝑎4 = −3 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎
2. Définition et calculs de puissance négative Soit 𝑎 un nombre relatif,
𝑛 un entier positif non nul. Exemples
𝑎−1 est l’inverse de 𝑎.
𝑎−1= 1 𝑎
2,5−1 = 1
2,5= 0,4
𝑎−𝑛= 1 𝑎𝑛
𝑎−𝑛 est l’inverse de 𝑎𝑛
2,5−3= 1
2,53 = 1
15,625= 0,064
Méthode : Utiliser les puissances d’exposant négatif Ecrire les quotients sous la forme 𝑎−𝑛 :
𝐴 = 1
3 × 3 × 3 × 3 × 3 𝐴 = 1
35 𝐴 = 3−5
𝐵 = 1
(−6) × (−6) × (−6)
𝐵 = 1 (−6)3 𝐵 = (−6)−3
𝐶 = 1
(−6)8× (−1)8
𝐶 = 1
68× 18 = 1 68 𝐶 = 6−8
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3. Formules sur les puissances Etude :
72×73 =7 × 7×7 × 7 × 7 = 75
= 72+3
72
73 = 7 × 7 7 × 7 × 7= 1
7 = 7−1
= 72−3
(72)3 = 72×72×72
= 7 × 7×7 × 7×7 × 7 = 76
= 72×3
(7 × 8)3 =7 × 8×7 × 8×7 × 8 = 7 × 7 × 7 × 8 × 8 × 8 = 73× 83
(7 8)
3
=7 8×7
8×7 8 =7 × 7 × 7 8 × 8 × 8
=73 83
Soit 𝑎 et 𝑏 deux nombres relatifs non nul,
𝑛 et 𝑝 deux nombres entiers relatifs. Exemples 𝑎𝑛× 𝑎𝑝 = 𝑎𝑛+𝑝 34× 37 = 311
𝑎𝑛
𝑎𝑝 = 𝑎𝑛−𝑝 34
37 = 3−3 (𝑎𝑛)𝑝 = 𝑎𝑛×𝑝 (34)7 = 328 (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛 (3 × 2)4 = 34× 24
(𝑎 𝑏)
𝑛
= 𝑎𝑛
𝑏𝑛 (3
2)
4
=34 24
4. Les puissances de 10
Les puissances de 10 : Exemples
10𝑛 = 10 × 10 × 10 × … × 10⏟
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 10
= 1 000 … 000⏟
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠 104 = 10 000
10−𝑛= 1
10𝑛 = 1 1 000 … 000⏟
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠
= 0,00 … 00⏟
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠
1 10−3= 0,001
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Les préfixes de nano à giga :
Exemple :
Une clé USB de capacité 2 Go correspond à 2 000 Mo soit 2 000 000 000 octets.
5. La notation scientifique
La notation (ou écriture) scientifique d’un nombre décimal est l’unique écriture de la forme 𝑎 × 10𝑛, avec 𝑎, nombre décimal possédant un seul chiffre non nul avant la virgule, 𝑛, nombre entier relatif.
La notation scientifique :
7,328 x 10
5
Nombre compris entre
1 et 10 (10 exclus) x une puissance de 10
Méthode : Effectuer des calculs de puissances
Calculer et donner le résultat en notation scientifique et décimale : A = 7,5 × 105× 4 × 8,2 × (10−5)2
A = 7,5 × 4 × 8,2 × 105× (10−5)2 A = 246 × 105× 10−10
A = 246 × 10−5
A = 2,46 × 10−3 (écriture scientifique) A = 0,00246 (écriture décimale)
B = 8 × 102 + 85 × 10−2
B = 800 + 0,85 B = 800,85 B = 8,0085 × 102
C =3 × 103× 7 × 103 50 × 10−4
C =3 × 7
50 ×103× 103 10−4 C = 0,42 × 106
10−4 C = 0,42 × 1010 C = 4,2 × 109 C = 4 200 000 000
