SMP5
MECANIQUE ANALYTIQUE CHAPITRE III
PUISSANCES REELLES-PUISSANCES
VIRTUELLES.
Soit (∑) étudié par rapport à R(O) ayant n paramètres principaux
I-Puissance réelle.
I-1.Schématisation des efforts :
Les efforts s’exerçant sur (∑) par rapport à R(O) peuvent être schématisés par la donnée d’une densité massique ( ou volumique) d efforts notée :
n 2
1
, q ..., q q
B A F et AB F.
C que els t sinon
0
B P si F -
A P si F )
P ( f ) unitaire u
( u C C Couple
sinon 0
A P si F )
P ( f : A en concentrée F
Force
: rs particulie Cas
A B R M M
: IR B et A
: que tels
dm ) P
( f P A M
IR A en moment de
et
dm ) P
( f R
: résultante de
) ( sur un torseur
t constituen efforts
Ces
B A
3 P
A
3 P
R R R
R
) P
(
f R
I-2. PUISSANCE REELLE:
. q des homogène non
linéaire forme
une est P
puissance La
dm P O . ) P
( f Q
et
es généralisé force
de s composante les
sont Q
Les n 1,...., i
dm q
P . O ) P
( f
Q où
Q q Q
P donc
dm P O . ) P
( f dm
q P . O ) P
( f q
dm P q O
q P . O
) P
( f P
: vient il P q O
q P O
(P/R) V : de compte en tenant
: Propriété /
*
dm ) P ( V . ) P
( f P
: par donnée est
) P
( f densité la
par s représenté efforts
des R à rapport par
P réelle puissance
La
: Définition /
*
i . /R
f P
0
i
P i
i
0 i
.
1 /R i
f
P
P i
n
1 i
i . P
i .
1 i
/R f
i .
1 i
P /R f /R
f
R t R
R t R
R t
t
R R
R
n i
n i
n i
) S ( . C P
: C Couple
) A ( V . P
: A en concentrée F
Force
: rs particulie Cas
0 ) S ( . A B A
B ) S ( . :
puisque
) S ( . M ) B ( V .
) S ( . A B M A
B ) S ( ) B ( V .
) S ( . M ) A ( V . P
) (S B , A
: effet en calculer;
la pour ) (S sur choisi A point du te indépendan est
quantité Cette
) S ( . M ) A ( V . ) A ( V , ) S ( M , P
)
(S A
: par donnée est
M , torseur le
par s représenté efforts
des P
réelle puissance
la , ) ( ) (S solide chaque
Sur
P
dm ) P ( V . ) P
( f dm
) P ( V . ) P
( f P
: ) P
( f densité la
par s représenté )
( sur exerçant s'
efforts des
R à rapport par
P réelle puissance
La
: 2 Remarque /
*
. 0 Q alors t de tes indépendan sont
s principale liaisons
les toutes Si
: 1 /Remarque
*
/R j sur C
/R sur F
j j
j B
j B
j
j /R A
/sur j f
j
j A
j /R A
/sur j f
/R A /sur j f
max
1 f/sur /R jmax
1
j P
P R / /sur f
/R sur f
0
R
R F
R R
R R
R R
R
R R
R R
R
R R
R
R R
R R
R R
R R
R S R
R
R
j
j j
j
j
j j
S
S S
S
S
j
j S
S
j
R R Q
et R Q
) R x ( P
x ) R x ( ) D I ( V et z ) D (
: x principal paramètre
1 s principale c
et b , a Si
0 Q et R R Q
, R Q
) R x ( P
x ) R x ( ) D I ( V et z ) D (
et x principaux paramètres
2 aire
complément c
et s principale b
et a Si
t de dépendante holonome,
uniforme
propre rotation
- c
t de te indépendan holonome,
R y : contact -
b
0 R
et et t de te indépendan holonome,
et
, 0 z
; plan mouvement
- a
: sont liaisons Les
I G ) D ( )
G ( V ) D I ( V : que telle
R à rapport par
(D) de glissement de
vitesse la
est ) D I ( V où ) D I ( V . R P
: vaut puissance
Sa
R y R x R R : est (D) sur exerçant s'
I en réaction La
(D).
de et , Euler d' angles les
et G de z et y x, s coordonnée les
: sont (D) de primitifs paramètres
Les
. angulaire vitesse
de uniforme propre
rotation une
avec
axe cet sur glisse et roule , x O axe l' avec I en permanent ponctuel
contact en
, (D)
G.
centre de
et R rayon de
(D) homogène
disque un
), y , x O;
( cal plan verti le
dans considère,
On
. ascendante verticale
la est y O où fixe direct, , orthonormé repère
un ) , y , x O;
( R Soit
: Exemple /
*
t 0
t x
. R
0 .
0 0 0
0 t
t x
. .
R
0 . .
0 0 . 0
.
n2 0
0 0
0 0
0 R I
0 n2 0
n1 0
t I
0 0
0
0 0
0 0 0
I I
I
t t
R
R R
R
R R
cste cste
R R
R
R R
z z
II-Puissance virtuelle:
liaison.
la maintenir pour
disque au moteur le
par e transféré temps
de unité par énergie l'
est c' C P
: nulle non est réelle puissance
sa que Notons
parfaite.
liaison une
d' agit s' Il
0 ) (D . C P et 0 ) (D z )
(D/R
: alors , principale est
liaison cette
Si
z C C moteur couple
un par imposée est
uniforme propre
rotation liaison
la (D), disque du
précédent exemple
l' Dans
: Exemple /
*
. principale prise
est liaison cette
lorsque nulle
est
réalisent la
qui liaison de
efforts des
virtuelle puissance
la si Gauss) de
sens au ( parfaite dite
est liaison Une
: parfaites Liaisons
/
*
. q aux rapport par
homogène linéaire
est puissance Cette
q Q
P donc
dm q
P . O ) P
( f q
dm q q
P . O
) P
( f P
: vient il q q
P O
(P) V : de compte en tenant
: Propriété /
*
dm ) ( V . ) P
( f P
: par ) P
( f densité la
par s représenté efforts
des P vituelle puissance
la définit on
analogue, manière
De
: Définition /
*
/R0
C
*
* C
* 0
0
0
* i
* i 1
i
* f
P i
n
1 i
* i P
* i
1 i
* f
* i
1 i
*
P
*
* f
* f
n i n
i
n i
R R
P R
R
*/Cas du contact ponctuel:
. principale est
liaison cette
lorsque nulle
est liaison de
efforts des
virtuelle puissance
a parfaite.L liaison
une est frottement sans
ou glissement sans
faisant se
ponctuel contact
Tout
frottement sans
contact
) ( F
ou
) (S à rapport par
) (S de glissement non
0 ) S / S (I V
: si nulle est virtuelle puissance
Cette
).
(S à rapport par
) (S de glissement de
virtuelle vitesse
la est ) ( ) S / S (I V où
) S / S (I V . F ) R / S (I V . - ) R / S (I V . F P
: donc 0 F
F : réaction la
de et action l' de principe le
après d'
) R / S (I V . F ) R / S (I V . F P donc
) (S sur ) (S de réaction
F et ) (S sur ) (S de réaction F
: sont liaison de
efforts Les
) ( contact de
commun nt
plan tange un
admettant I
en ponctuel permanent
contact en
) ( de solides 2 ) (S et ) (S Soient
1 2 S
2 1
2 g 1
*
2 1
2 g 1
*
2 g 1
* 1 2 S 0
2
* 0
1
* 1 2 S
* liaison
1 2 S 2 1 S
0 1
* 1 2 S 0 2
* 2 1 S
* liaison
1 2
1 2 S 2
1 2
1 S
2 1
S
S S
S S
S S
S S
III-Energie potentielle.
jmax
1 j
p p
jmax
1 j
j
p p
0 p
i i
p p
0 n
1 i
. /R) i
(P f p
i .
1 i
p p
p /R)
(P f 1
n 2
1 p p
) R / ( U )
R / ( U alors ) (S )
( Si
: Additivité /
*
forces.
de fonction appelée
est ) R / ( U )
R / ( V fs.
conservati dits
alors sont efforts Ces
/R) (P
f densité la
par s représenté efforts
aux ant correspond e
potentiell énergie
l' est ) R / ( U
Q - U
et
...n 1,
i Q
q - U
: équations 1)
(n des système du
solution donc
est existe, elle
lorsqu' ),
R / ( U
Q Q P
et
q U q U t d U d comme
t d U d - P
: que telle C
classe de
) t , q ,..., q
, q ( U ) R / ( U
fonction une
existe il
si e potentiell énergie
une d' dérivent /R)
(P f densité la
par s représenté efforts
Des
: Définition /
*
j
i n
i
S t t q
cste z
. G O g m ) ( U : alors e
descendant est
verticale la
Si : remarque
cste z
. G O g m
cste z
g m ) ( U
mg U
et
t 0
U U
U U
y U x
U
: de solution donc
est ) , , , z, y, x, ( U ) ( U
g m - Q et 0 Q
Q Q
Q Q Q
: tion identifica par
avec,
Q Q
Q Q
Q y Q Q
z g m - P
donc (G/R) V
g m dm
S/R) (P
V g
dm S/R) (P
V g P
z z y y x (G/R)
V et z z y y x x G O
et , Euler d'
angles les
et G de z y, x, s coordonnée les
sont R
à rapport par
(S) de paramètres Les
z g - g /R)
(P f pesanteur de
champ le
dans G inertie d'
centre de
et m masse de
) S ( solide un
considère on
; ascendante verticale
la est z O où direct ,
orthonormé )
z , y , x R(O;
à rapport Par
: pesanteur de
e potentiell Energie
/
*
pp pp
p p
p p
p p
p
pp pp
z 0
y x
0 .
. .
. z .
y .
x .
/R) (S f
P P
/R) (S f
. .
.
S S
z t
S
z x
x
S S
*/Energie potentielle élastique:
x
cinétique.
énergie leur
calculer à
avoir pas ne pour e négligeabl masse
de considérés seront
ils s, déformable sont
ressorts les
Or
étudié.
système du
partie faire titre, ce à doivent, ils
élastique;
e potentiell énergie
l' de réservoirs les
sont ressorts Les
: 2 Remarque
0 U a on 0) x ( déformé non
état l' à puisqu' n
intégratio d'
constante de
pas a y n' Il
: Remarque1
2K x U 1
: est ante correspond élastique
e potentiell énergie
l' et K x - Q donc x K x - M/R) ( V . F P
: est force cette par développée réelle
puissance la
x x x M/R) ( V comme
ressort du
t allongemen
L - X où x x K x - x L) - (X K - F
x X M O
M extrémité autre
son en F rappel de
force une exerce O,
en fixée est extrémité une
dont
L, repos au longueur de
et K raideur de
unitaire),
x ( x O axe d' e, négligeabl masse
de al, longitudin ressort
Un
Pe
2 Pe
x .
/R F
. .
X
IV-SYSTEMES CONSERVATIFS.
*/ Si pour un système ( ∑) par rapport à R
- toutes les liaisons sont principales, parfaites et indépendantes du temps
-tous les efforts qui travaillent, autres que les efforts de liaison, dérivent d’une énergie potentielle alors :
l énergie mécanique de ( ∑) par rapport à R est conservée au cours du temps:
T(( ∑/R) + Up( ∑/R) = cste au cours du mouvement
C’est l’intégrale première de l’énergie où la valeur de la constante est déterminée par les conditions initiales.
*/Démonstration:
On applique le théorème de l’énergie cinétique au système (∑) par rapport à R
dt 0
) / ( U /R) T(
et d dt
) / ( U - d dt
) / T(
finalement d Soit
0 Q
t de tes indépendan sont
liaisons les
toutes plus
de comme ..n
1, i 0 Q
donc 0 P
s principale et
parfaites sont
liaisons les
toutes
fs conservati sont
nt, travaille qui
appliqués, efforts
les car tous
0 P
dt
) / ( U - d P
P P
P dt P
/R) T(
d
p p
0 i
*
liaison de efforts fs
conservati non
efforts
p fs
conservati efforts
liaison de efforts fs
conservati non
efforts fs
conservati efforts
efforts les tous