. Les puissances

I- introduction 1-définition

Exemple :

Exemple :

Exemple :

Les puissances

a × 𝑎 × … … … . … .× 𝑎 = 𝑎

Définition 1 :

a est un nombre rationnel , et n un nombre entier non nul .

𝑎

= 1 𝑎

Propriété 1:

a est un nombre rationnel non nul , et n un entier relatif

.

Résultat 1:

𝑎

𝑏 est un nombre rationnel non nul , et n un entier relatif . ^𝑎_𝑏 ^−𝑛 = ^𝑏_𝑎 ^𝑛

n facteurs La base de la puissance 𝑎^𝑛

L’exposant de la puissance 𝑎^𝑛

𝑎^𝑛: 𝑠𝑒 𝑙𝑖𝑡 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑛 𝑜𝑢 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑛

Cas particuliers

𝑎¹ = 𝑎 𝑒𝑡 𝑎⁰ = 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0 𝑎² = 𝑎 × 𝑎

𝑎³ = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎

a un nombre rationnel :

𝑎⁻¹ =_𝑎¹₁ exemple : 5⁻¹ =₅¹₁

𝑎²: 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑟é 𝑑𝑒 𝑎 𝑎³ : 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑒 𝑑𝑒 𝑎

3⁻¹ =₃¹_{1 7}¹₋₁ = 7¹

⁻⁵₃ ⁻² = ⁻³₅ ²

2- le signe d’une puissance :

Exemple :

II- les opérations sur les puissances

1- la multiplication de deux puissances de même base

Exemple :

2-puissance d’une puissance

Exemple :

3-la multiplication de deux puissances de même exposant

Règle 1 :

Soit a un nombre rationnel , et n , m deux nombres entiers relatifs non nuls.

𝑎^𝑛× 𝑎^𝑚 = 𝑎^𝑛+𝑚

Règle 2 :

Soit a un nombre rationnel , n et m deux nombres entiers relatifs non nuls.

𝑎^{𝑛 𝑚}= 𝑎^𝑛×𝑚 𝑎^{𝑛 𝑚} : puissance d’une puissance

Propriété 1:

a est un nombre rationnel , et n un nombre entier non nul . Si l’exposant n est pair alors la puissance 𝑎^𝑛 est positive

Si l’exposant n est impair alors la puissance 𝑎^𝑛 prend le signe de la base a .

−1

2 ⁸: est un nombre positif , car l’exposant est pair 7²⁸ : est un nombre positif ,car l’exposant est pair −2

7 ³: est un nombre négatif ,car l’exposant 3 est impair et la base est négatif est un nombre positif , car la base 7 est positive

7¹¹ :

Remarque 1 :

Si n est un nombre pair , alors −𝑎 ^𝑛= 𝑎^𝑛 Exemple : −5 ¹⁰= 5¹⁰

6 )

4 ( 10 4

10

3 1 3

1 3

1 3

1 



 



  

 

 



  

 

 



  

 

 



 

15 5

5 3 3

5 2 5

2 5

2

 

 



 

 

 



 

 



 

 



 





Exemple :

4-Le quotient de deux puissances de même base

*

Exemple :

5-

Le quotient de deux puissances de même exposant

Exemple :

III – l’écriture scientifique

1 Les puissances de base 10

2- l’écriture scientifique :

Règle 3 :

Soient a et b deux nombres rationnels , et, n un nombre entier relatif non nul.

𝑎^𝑛 × 𝑏^𝑛 = 𝑎 × 𝑏 ^𝑛

Règle 4 :

Soit a un nombre rationnel non nul et, n et m deux nombres entiers relatifs .

𝑎^𝑚

𝑎^𝑛= 𝑎^𝑚−𝑛

3 3

3 3

5 2 5

7 7 2 5

7 7

2

 

 



 

 

 







 

 

 



 

 

 





5 7

2 7

2

5 3 5

3 5

3 5

3

 

 



 

 

 



 

 

 





 

 





Règle 5 :

Soient a et b deux nombres rationnels et, n un nombre entier relatif.

𝑎^𝑛

𝑏^𝑛 = ^𝑎_𝑏 ^𝑛 , 𝑏 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑎 ≠ 0 10²

5² = 10 5

2

=

Propriété 2 :

n un nombre entier naturel non nul.

1000 … . .0 = 10^𝑛 , 0,000 … . .01 = 10^−𝑛

n zéro n zéro

Exemple : 10000000 = 10⁷ ; 0,00000001 = 10⁻⁷

PR :AHMED BARAHNA

Définition 2 :

X un nombre décimal

Toute écriture sous la forme X = 𝑎 × 10^𝑛 , tel que a est un nombre décimal 1 ≤ 𝑎 <10 est appelée l’écriture scientifique de nombre X

Exemple :

-5598 = -5,598× 10³ -0,00054 = -5, 4 × 10⁻⁴