Les puissances

(1)

Les puissances

Chapitre : 6

Fait par : ahmed barahna

(2)

Activité 1

• L’ aire d’un carré de 4cm de côté est égale à 4×4 que l’on écrit 4² Donc 4×4 = 4² .

• Le volume d’un cube de 5cm d’arête est égale à 5 × 5 × 5 que l’on écrit 5³

Donc 5 × 5 × 5 = 5³

1) Compléter les expressions suivantes ⁷₄ × ⁷₄ × ⁷₄ × ⁷₄= ……..

−3 × −3 × −3 × −3 × −3 = ⋯ . . a un nombre rationnel

a × 𝑎 × ⋯ … … . … .× 𝑎 = ⋯ . .

n facteurs

Solution

(3)

1) ⁷

4 × ⁷

4= ⁷

4

7 4

4

−3 × −3 × −3 × −3 × −3 = (−3)⁵. a un nombre rationnel

a × 𝑎 × ⋯ … … . … .× 𝑎 = 𝑎^𝑛

n facteurs

Définition 1:

a est un nombre rationnel , et n un nombre entier non nul .

a × 𝑎 × ⋯ … … . … .× 𝑎 = 𝑎

^𝑛

𝑎 ^𝑛

n facteurs La base

L’ exposant

L’ exposant de la puissance 𝑎^𝑛 La base de la

puissance 𝑎^𝑛

𝑎^𝑛: 𝑠𝑒 𝑙𝑖𝑡 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑛 𝑜𝑢 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑛

(4)

Exemple :

− 1

3 × −1

3 = (−1 3)³

Cas particuliers

a un nombre rationnel :

𝑎

¹

= 𝑎 𝑒𝑡 𝑎

⁰

= 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0 𝑎

²

= 𝑎 × 𝑎

𝑎

³

= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎

𝑎

⁻¹

=

_𝑎¹₁

exemple : 5

⁻¹

=

₅¹₁

𝑎²: 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑟é 𝑑𝑒 𝑎 𝑎³ ∶ 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑒 𝑑𝑒 𝑎

Propriété 1:

a est un nombre rationnel non nul , et n un entier relatif . 𝑎^−𝑛 = ¹

𝑎^𝑛

Exemple :

3⁻¹ = ₃¹₁ ₇¹₋₁ = 7¹

(5)

exemple

Activité 2

1) Calculer puis déterminer les signes des puissances suivantes a) (−5)² 𝑒𝑡 2⁴

b) (−2)³ et 2³

solution

a) (−5)²= −5 × −5 𝑒𝑡 2⁴= 2 × 2 × 2 × 2 =25 = 16

(−2)³= (−2) × (−2) × (−2) et 2³ = 2 × 2 × 2

= -8 = 8 négatif positif

positif positif

Résultat 1:

𝑎

𝑏 est un nombre rationnel non nul , et n un entier relatif .

𝑎 𝑏

−𝑛 = ^𝑏

𝑎 𝑛

−5 3

−2 = ⁻³₅ ²

(6)

Règle 1:

a est un nombre rationnel , et n un nombre entier non nul . Si l’exposant n est pair alors la puissance 𝑎^𝑛 est positive Si l’exposant n est impair alors la puissance 𝑎^𝑛 prend le signe de la base a .

Exemple :

(−1

2)⁸: est un nombre positif car l’exposant est pair 7²⁸ ∶ est un nombre positif car l’exposant est pair (−2

7)³: est un nombre négatif car l’exposant 3 est impair et la base est négatif

est un nombre positif car la base 7 est positive 7¹¹ ∶

Remarque 1 :

Si n est un nombre pair , alors

(−𝑎)

^𝑛

= 𝑎

^𝑛

Exemple :

(−5)¹⁰= 5¹⁰

(7)

1) Écrire sous forme d’une puissance puis comparer les nombres suivants :

Activité 3

a) b)

c) d)

e) 10

²

5

²

solution a)

2 4

2

5 2 5

2 5

2 



 



 



 



 



 







 



 ^ ^ ^

5 3

5 2 5

2 



 







 



 ^ ³ ⁵

5

2 







 



 



 ^

3 3

5 7 7

2 ^ ^



 







 





7 2

5 3 5 3



 







 





(8)

Régle 2 :

Soit a un nombre rationnel , et n , m deux nombres entiers relatifs non nuls.

𝑎

^𝑛

× 𝑎

^𝑚

= 𝑎

^𝑛+𝑚

Exemple :

b)

Règle 3 :

Soit a un nombre rationnel , n et m deux nombres entiers relatifs non nuls.

𝑎

^{𝑛 𝑚}

= 𝑎

^𝑛×𝑚

𝑎^{𝑛 𝑚} : puissance d’une puissance

6 )

4 ( 10 4

10

3 1 3

1 3

1 



 



  



 



  



 



 



 



  ^ ^ ^

15 5

5 3 3

5 2 5

2 5

2 ^ ^ ^ ^



 



 



 



 







 



 





(9)

c)

Régle 4 :

Soient a et b deux nombres rationnels , et, n un nombre entier relatif non nul.

𝑎

^𝑛

× 𝑏

^𝑛

=(𝑎 × 𝑏)

^𝑛

3 3

5 2 5

7 7 2 5

7 7

2 ^ ^ ^ ^



 



 



 







 



 







 





d)

5 7

2 7

2

5 3 5

3 5

3  



 



 



 



 



 







 





Régle 5 :

Soit a un nombre rationnel non nul et, n et m deux nombres entiers relatifs .

𝑎^𝑚

𝑎^𝑛

= 𝑎

^𝑚−𝑛

(10)

e)

¹⁰²

5² = 10 5

2

=2²

Régle 4 :

Soient a et b deux nombres rationnels et, n un nombre entier relatif.

𝑎^𝑛

𝑏^𝑛

=

^𝑎_𝑏 ^𝑛

, 𝑏 ≠ 0 Exercice d’application :

1) Écrire l’expression suivante sous forme d’une puissance

𝐴 = 2

²

× (2

⁻⁵

)

³

× 2

³

× 2

⁴

2

⁻³

× 0,5

⁴

× 4

⁴

× 8

⁷

4

⁷

(11)

Activité 4

1) Écrire les nombres suivants sous forme d’une puissances son base égale à 10 a)10 , 100 ; 1000

0,1 ; 0,01 ; 0,001

10 =10¹ 100 = 10 × 10

= 10² 1000 = 10 × 10 × 10

= 10³

Propriété 2 :

n un nombre entier naturel non nul.

1000 … . . 0 =

n zéro

10

^𝑛

, 0,000 … . . 01 = 10

^−𝑛

0,1 =₁₀¹ = 10⁻¹ 0,01 = 1

100 = 1

10² = 10⁻² = 10²

0,001 = 1 = 101000⁻³

n zéro

(12)

Exemple :

10000000 = 10⁷ ; 0,00000001 = 10⁻⁷

Activité 5

1) déterminer l’écriture scientifique des nombres suivants -134,9 ; 0,0002

Solution

-1234 = -1,349 × 100 = -1,349 × 10²

Définition 2 :

X un nombre décimal

Toute écriture sous la forme X = 𝑎 × 10^𝑛 , tel que a est un nombre décimal 1 ≤ 𝑎 <10 est appelée l’écriture scientifique de nombre X

0,0002= 2× 10⁻⁵

(13)

Exemple :

-5598 = -5,598× 10³

fin

-0,00054 = -5,4 × 10⁻⁴