A553. Puissances inaccessibles
Soient :
- le ième nombre premier, avec - le produit des premiers nombres premiers - le produit de nombres premiers impairs
Pb₁(*) : Démontrer que pour quelconque, ne peut jamais être un carré parfait.
Pb₂ (**) : Démontrer que pour quelconque, ne peut jamais être un cube parfait.
Pb₃ (***) : Pour quelles valeurs de a-t-on ? Justifier votre réponse.
Pb₄ (*****) pour les plus courageux : Démontrer que pour , – ne peut jamais être une puissance parfaite.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Problème 1
Supposons . On a alors ( )( ).
Si est pair, alors ( )( ) est impair. Ce qui contredit divise .
Si est impair, alors ( )( ) . Mais 4 ne divise pas , c’est encore une contradiction.
Donc ne peut jamais être un carré parfait.
Problème 2
Supposons .
Puisque est impair, alors nécessairement, est pair. On en déduit puis . Mais impair implique puis . On a donc une contradiction.
Donc ne peut jamais être un cube parfait.
Problème 3
On vérifie tout d’abord directement que la propriété est fausse pour et vraie pour .
Supposons et la propriété vraie au rang et montrons qu’elle est vraie au rang .
car d’après le Postulat de Bertrand (théorème de Tchebychev).
En conclusion, si et seulement si .
Problème 4
Supposons avec , et .
On a . Soit ; si alors ; donc . On en déduit que admet un facteur premier supérieur à . Il en découle que , et , puis finalement que . Etudions le cas et . On a et .
Mais , soit . Une contradiction.
Etudions le cas et , ou premier impair. On a . Donc , soit . Ce qui implique d’après Fermat. On factorise ( ) ∑ ( ) et on calcule et ∑ ( ) ∑ . Donc , une contradiction.
Etudions le cas composé. On peut alors écrire avec premier, et poser . L’équation s’écrit donc . On se ramène aux cas précédents pour conclure à une impossibilité.
Si , ne peut jamais être une puissance parfaite.
