Montrons par récurrence, quePn est vraie pour toutndeN∗

TS DS 1 _2011-2012

EXERCICE 1 :

On note la propriétéPn pour toutndeN^∗.

Montrons par récurrence, quePn est vraie pour toutndeN^∗. Initialisation :P1est vraie car on a : 1

2¹ =1 2 =u1.

Hérédité : on suppose que Pn est vraie pour un entier n quelconque, avec n ∈ N^∗ . Grâce aux données on a un+1=n+ 1

2n un

Ainsi grâce à l’ hypothèse de récurrence on obtientun+1= n+ 1 2n × n

2ⁿ = n(n+ 1)

2n×2ⁿ =n+ 1

2ⁿ⁺¹, en simplifiant parn6= 0.

AinsiPn+1 est vraie.

Conclusion :Pn est vraie pour toutndeN^∗ et on a donc bienun = n

2ⁿ pour toutndeN^∗. EXERCICE 2 :

1. u1= 2u0+u²0= 2×(−3) + (−3)²=−6 + 9 = 3 et u2= 2u1+u²1= 2×3 + 9 = 15

2. (a) Commef est une fonction polynôme du second degré, sa courbe représentative est une parabole. De plus le coefficient de x² étant positif, cette fonction est décroissante puis croissante. L’abscisse du sommet est

−2 2 =−1

formule −b 2a

. Son ordonnée est f(−1) =−1.

(b) Constructions en annexe.

(c) La suite (un) semble strictement croissante et tendre vers +∞.

3. Montrons par récurrence queun>0 pour toutndeN^∗. Initialisation : on au1= 3 et 3 est positif doncP1 est vraie.

Hérédité : on suppose queun>0 pour un entiernquelconque deN^∗.

On aun+1= 2un+u²_n , orun >0 (par hypothèse de récurrence) etu²_n>0 , donc par sommeun+1>0.

Conclusion : on a bienun>0 pour toutndeN^∗.

4. On a un+1−un =un+u²n pour tout nentier strictement positif. Or, pour tout nde N^∗, grâce à la question précédente,un >0 etu²n>0, doncun+1−un>0 pour toutndeN^∗et la suite est strictement croissante.

EXERCICE 3 :

1. D’après la définitionu2=u1−1 4u0= 1

2+1 4 = 3

4.

• u1

u0

=

1 2

−1 =−1

2 . Si la suite était géométrique, on auraitu1×

−1 2

=u2. Oru1×

−1 2

= 1 2×

−1 2

=−1

4 6=u2. La suite (un) n’est pas géométrique.

• u1−u0=1

2 −(−1) = 3

2. Si la suite était arithmétique, on auraitu2−u1= 3 2. Oru2−u1=3

4 −1 2 =1

4. La suite (un) n’est pas arithmétique.

Conclusion : la suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique.

2. (a) v0=u1−1 2u0=1

2 −1

2×(−1) = 1.

(b) ∀n∈N, vn+1=un+2−1

2un+1=un+1−1 4un−1

2un+1= 1

2un+1−1 4un=1

2

un+1−1 2un

= 1 2vn. (c) vn+1=1

2vn signifie que la suite (vn) est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1 2. (d) On a donc quel que soitn∈N, vn=

1 2

ⁿ

= 1 2ⁿ.

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Annexe

O

y=x

b b b

u0=−3 u1= 3 u2= 15

EXERCICE 4 :

Renseignements sur la fonctionx7−→ −x²+ 5x−6 x

Signe de

−x²+ 5x−6

−∞ 2 3 +∞

− 0 + 0 −

O ~i

~j

b b

3

2 xtend vers 3 (x >3) f(x)<0

x→3lim

x>3

1−2x=−5

x→3lim

x>3

−x²+ 5x−6 = 0⁻(voir + haut)







(quotient)

x→3lim

x>3

1−2x

−x²+ 5x−6 = +∞

et lim

x→+∞

1−x³

2x³+x+ 1 = lim

x→+∞

−x³ 2x³ =−1

2 car une fonction rationnelle a même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré en +∞.

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