Enoncé D366 (Diophante)
Les faces de même aire ont même air
Soit ABCD un tétraèdre dont les quatre faces ont la même aire.
Montrer que les quatre faces sont isométriques, les longueurs des arêtes vérifiant :|AB|=|CD|,|AC|=|BD|et |AD|=|BC|.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Par égalité des aires de ACD et BCD, A et B sont à la même distance deCD; le cylindre de révolution d’axe CD passant par Apasse aussi parB et on voit, en projection sur un plan perpen- diculaire à CD, que sur la droite AB le point le plus proche de CD est le milieu I du segment AB.
L’égalité des aires de CAB et DAB montre de même que sur la droiteCDle point le plus proche deABest le milieuJdu segment CD.
La droite IJ est la perpendiculaire commune à AB et CD. Si a, b, c, d, isont les projections deA, B, C, D, I sur un plan perpen- diculaire à IJ, J se projette aussi en i, et dans le quadrilatère acbd, les diagonales se coupent en leur milieu. Ce quadrilatère est donc un parallélogramme où|ac|=|bd|et|ad|=|bc|.
Vectoriellement,AC =AI+IJ+J C =ai+IJ+ic=ac+IJ, d’où AC2 =IJ2+ac2 =IJ2+bd2= (bi+IJ+id)2= (BI+IJ+J D)2 = BD2.
Ainsi |AC|= |BD|, et|AD| = |BC| s’établit de la même façon.
Quant à la troisième paire d’arêtes opposées, il suffit de reprendre le raisonnement en échangeantB etC.
L’égalité des aires caractérise donc un triangle équifacial.
Rabattons sur le planABC les facesDBC,DCA,DAB enLBC, M CA,N ABà l’extérieur deABC; il résulte des égalités de côtés queABC est le triangle des milieux des côtés du triangle LM N.
![Démontrer que: a) Sommes: [A,B]=-[B,A] antisymétrie [A,(B+C)]=[A,B]+[A,C] distributivité (2) [(A+B),(C+D)]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D] B ) Produits: [A,BC]=[A,B] C+B[ A,C] [BC,A]=B[C,A]+[B,A] C [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B [Am,An]=0 m et n b) Tro](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)