Enoncé D2914 (Diophante) Distances inconnues
Dans le plan on a 5 points A, B, C, D, E. Sur les dix distances qui sé- parent les points pris deux à deux, sept d’entre elles exprimées en mm sont connues : d(A, B) = 2352, d(A, C) = 2352, d(A, E) = 1520, d(B, C) = 2352, d(B, E) = 1168, d(C, D) = 1365, d(D, E) = 43.
Déterminer les trois autres distances d(A, D),d(B, D) et d(C, E).
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
ABC est un triangle équilatéral, que je suppose de sens direct. Je prends pour axes de coordonnées la droite AB et la médiatrice du segment AB.
D’où les coordonnées A(−1176,0),B(1176,0),C(0,1176√ 3).
Les cercles d’équations
(x+ 1176)2+y2 = 15202 et (x−1176)2+y2= 11682 se coupent en deux points :
E1(1408/7,2600√
3/7) etE2(1408/7,−2600√ 3/7).
Ces coordonnées déterminent les distances d(C, E1) = 1408 etd(C, E2) = 16√
28219/7 = 2687,76. . .
Cette dernière distance ne satisfait pas l’inégalité du triangle selon laquelle d(C, D)−d(D, E) = 1365−43 = 1322≤d(C, E) ≤1408 = 1365 + 43 = d(C, D) +d(D, E).
On en conclut queE estE1, et queC, D, E sont alignés dans cet ordre.D est barycentre de C etE avec les poids 43 et 1365, d’où ses coordonnées D(195,396√
3).
On en tire les distances d(A, D) = 1533, d(B, D) = 1197.
