A412- Même périmètre et même surface Solution
Soient a, b et c les dimensions du terrain acheté par Diophante et d, e et f celles du terrain acheté par Hippolyte. Soit s le demi-périmètre commun aux deux terrains.
On a la 1ère relation: 2*s = a + b + c = d + e + f.
Par ailleurs la formule de Héron donne la mesure des aires de chaque triangle:
aire (ABC) = s*(s-a)*(s-b)*(s-c) =aire (DEF) = s*(sd)*(se)*(sf). D’où la 2ème relation :
(s – a)*(s – b)*(s – c) = (s – d)*(s – e)*(s – f)
Les plus petits terrains par le périmètre qui satisfont ces conditions ont les dimensions suivantes: a=7,b=15 et c=16 pour ABC et d=10, e=11 et f=17 pour DEF. Le périmètre commun est égal à 38 et l’aire des deux triangles vaut 12* 19 .
Si les deux terrains ont une même surface qui est également un nombre entier, la solution minimale est obtenue pour a=17, b=25 et c=28 d’une part, d=20, e=21 et f=29 d’autre part. Le périmètre commun est de 70 et la surface vaut 210.
Six terrains de dimensions toutes différentes peuvent être trouvés avec même périmètre et même surface. Leurs dimensions sont les suivantes :
1er triangle : 442, 890, 1008 2ème triangle : 450 876 1014 3ème triangle : 522 778 1040 4ème triangle : 533 765 1042 5ème triangle :546 750 1044 6ème triangle : 624 666 1050
