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D366 - Les faces de même aire ont même air

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Academic year: 2022

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Problème proposé par Pierre Renfer

Soit ABCD un tétraèdre dont les quatre faces ont la même aire.

Montrer que les quatre faces sont isométriques, les longueurs des arêtes vérifiant : AB = CD, AC = BD et AD = BC

Posons BC=a, CA=b, AB=c, AD=x, BD=y, CD=z, X=x2, Y=y2 et Z=z2. Pour l’aire S de la face ABC, la formule de Héron peut s’écrire :

16S2=((a+b)2-c2)((a-b)2-c2)=(a2-b2)2-2c2(a2+b2)+c4 Si S est également l’aire de la face ABD, nous avons

(X-Y)2-2c2(X+Y)=(a2-b2)2-2c2(a2+b2) avec X≥0, Y≥0 ce qui est l’équation d’un quart d’une hyperbole symétrique par rapport aux axes des X et des Y, ou, en trois

dimensions, celle du cylindre construit sur cette hyperbole parallèlement à l’axe des Z.

De même pour (Y-Z)2-2a2(Y+Z)=(b2-c2)2-2a2(b2+c2), et (Z-X)2-2b2(Z+X)=(c2-a2)2-2b2(c2+a2).

Comme X≥0, Y≥0 et Z≥0, le système des trois équations n’a qu’une solution : les trois cylindres n’ont qu’un seul point commun, et X=a2 , Y=b2, Z=c2, donc AD=BC, BD=AC et CD=AB.

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